[obm-l] RES: [obm-l] Variação_na_questão_do_IME:_x=sqrt(a-sqrt(a-x))

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

O erro está no fato de que estas soluções que você achou serem apenas
CANDIDATAS a soluções. Quando você eleva ao quadrado, pode introduzir
"raízes estranhas" à equação. Tipo, digamos que temos de resolver:

	x-1=2

Sim, a solução é x=3... Mas alguém poderia elevar ao quadrado:

	x^2-2x+1=4
	x^2-2x-3=0
	x=-1 ou x=3

O fato de que chegamos a duas soluções não significa que ambas sejam
válidas! (Neste caso, por exemplo, x=-1 é estranha).

Você chegou a 4 soluções elevando a equação duas vezes ao quadrado. Mas será
que todas são soluções da equação original? Um pouco mais de trabalho
mostrará que uma delas não é raiz da original (x negativo, não pode ser,
pois x=sqrt(alguma coisa) tem de ser não-negativo).

Abraço,
	Ralph

-----Mensagem original-----
De: Andre S [mailto:andreluiz_sch@yahoo.com.br]
Enviada em: quarta-feira, 5 de junho de 2002 01:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Variação_na_questão_do_IME:_x=sqrt(a-sqrt(a-x))


Ralph,

em alguma parte do problema eu devo ter cometido algum
engano, pq achei 4 raízes para x=sqrt(0,8 -
sqrt(0,8-x))...
segue meu desenvolvimento...

(x^2 - 0,8)^2=0,8 - x
(I) x^4 - 1,6x^2 + x - 0,16 = 0

Utilizando-se x=sqrt(a - x), descobre-se 2 das 4
possiveis raízes de x=sqrt(a-sqrt(a-x))
logo, duas raízes de (I) estão em

(II) x^2 + x - 0,8 = 0 
{(-1+sqrt(4,2))/2;(-1-sqrt(4,2))/2}

considerando (I) na forma (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x -
x4) = 0 , sendo x2, x2, x3, x4 raízes, e (II) na forma
(x - x1)(x - x2) = 0,
a divisão (I)/(II) deve apresentar uma equação do 2º
grau com as duas soluções que faltam.

(x^4 - 1,6x^2 + x - 0,16) / (x^2 +x -0,8) = 

(III) x^2 - x + 0,2 = 0  
{(1+sqrt(0,2))/2;1-sqrt(0,2))/2}

Dessa forma, seriam soluções da equação inicial

S =
{(-1+sqrt(4,2))/2;(-1-sqrt(4,2))/2;(1+sqrt(0,2))/2;1-sqrt(0,2))/2}

Onde foi meu erro?

[]'s,
A.S.









 --- Ralph Teixeira <RALPH@fgv.br> escreveu: > 	Olá,
galera.
> 
> 	Um colega nosso da lista, o Cláudio, destacou que
> eu havia me
> enganado quando disse que a equação
> 
> 	x=sqrt(5-sqrt(5-x))
> 
> 	tem *DUAS* soluções. Ele tem razão -- apesar de eu
> ainda defender o
> fato de que você NÃO PODE SIMPLESMENTE DIZER QUE
> x=sqrt(5-x), o meu método
> acaba por gerar apenas uma raiz de qualquer forma
> (eu havia cometido um erro
> de álgebra que o Cláudio encontrou).
> 
> 	Por exemplo, a equação x=sqrt(0.8-sqrt(0.8-x)) tem
> 3 raízes reais
> (você consegue encontrá-las?). Apenas *1* delas é
> encontrada fazendo
> x=sqrt(0.8-x).
> 
> 	Minha perguntinha para a galera é então: para que
> valores de a as
> equações
> x=sqrt(a-sqrt(a-x)) e x=sqrt(a-x) são equivalentes?
> 
> 	Divirtam-se!
> 
> 	Abraço,
> 		Ralph
>
=========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é
> <nicolau@mat.puc-rio.br>
>
========================================================================= 

_______________________________________________________________________
Yahoo! Encontros
O lugar certo para você encontrar aquela pessoa que falta na sua vida.
Cadastre-se hoje mesmo!
http://br.encontros.yahoo.com/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================