[obm-l] Re: [obm-l] Desafio [correção]

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Bruno e colegas,

minha conclusão foi errônea, como muitas de outras mensagens minhas.

O fato de P >= (1 + RAIZ_n(4))^n implica, por exemplo que:

P >= 2^n, já que 1 + RAIZ_n(4) > 2

O meu erro foi achar que RAIZ_n(4) tende a zero quando n cresce, isso não é
verdade. Essa seqüência tende a 1, de modo descrescente.

Mesmo assim *acho* que a alternativa correta é e).

Pois para n=1, podemos fazer P=5. De modo que a) não pode valer. As
alternativas b) e d) certamente não valem. Não sei quanto a c). Vou pensar
mais a respeito.

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.


From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> Caro Bruno,
>
> a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar
índices
> para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponenciação
> geralmente se usa "^", aí as alternativas seriam P>2^(n+3), P>5^n, e assim
> por diante.
>
> Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
> indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
> que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
>
> (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
>
> com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
>
> No caso do seu problema. Temos
>
> P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) > 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
>
> Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante
me
> parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
>
> Fazendo a multiplicação, temos
>
> P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
> [a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
>
> No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
> No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
> No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
> Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética >= média geométrica em cada
> um dos colchetes.
>
> P >= 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
> {(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
>
> De forma mais compacta
>
> P >= 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
> (a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1))  } } =
> 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n   :    C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
> = (1 + RAIZ_n(4))^n
>
> ((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
>
> Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
> isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e
geométrica.
>
> Portanto P >= (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
>
> Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a>1)
> vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
> RAIZ_n(4), a "base" da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
> cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
> alternativa correta é e).
>
> Um abraço!
>
> Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
>
>
> >From: Bruno
> >
> >Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
> >"Suponha a', a'', ....., an  são números reais positivos, com n>2 e que
> >a'.a''.a'''....an=4
> >Nesta situação, a repeito do produto:
> >P=(1+a')(1+a'').......(1+an)  temos:
> >          n+3
> >a.)P>2
> >                           n
> >                b.)P>5
> >                                             n+1
> >                                   c.)P>2
> >             n+1
> >d.)P>5
> >                e.)n.d.a.
> >
>
>

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