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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)

Grande Duda !
E ai maluco, tudo blz ?

Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui onde 
estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que 
cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear 
certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa 
que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com 
isso.

O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou :

E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS 
DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ?

Eu conjecturei algo mais amplo, a saber :

SE "A", "B" e "C" SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES POTENCIA 
N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA 
PROGRESSAO ARITMETICA.

Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet.


PRIMEIRO PASSO DA IDEIA

Sem perda de generalidade podemos supor A < B < C. Evidentemente : RAIZ_N(A) 
< RAIZ_N(B) < RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA 
significa dizer que existem naturais "R", "S" e "T" tais que :

X + YR = RAIZ_N(A)
X + YS = RAIZ_N(B)
X + YT = RAIZ_N(C)

Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente : 
X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA )

Veja que eu nao estou impondo que "R", "S" e "T" estejam em PA. Nao estou 
impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo que, 
por exemplo, R < S < T.

O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a funcao 
X + Y*N  - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y > 
o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R < S < T. Se Y < 0 ela sera 
decrescente e R > S > T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um 
ponto interior ao intervalo de extremos R e T.

Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R < T. Queremos, pois, 
saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal 
que X + YZ = RAIZ_N(B).



SEGUNDO PASSO DA IDEIA.

Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do ponto 
que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C))  e que tem 
abscissa R+1 ? sera :

RAIZ_N(A)  +  (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) =
[RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R)

Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria :
[RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R)

Os pesos sao sempre da forma : "T-R-i" e "i", isto e, nos estamos diante de 
uma media ponderada da forma :

(p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R.

Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) 
a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois 
pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos 
acima e tais que :

RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q)



TERCEIRO PASSO DA IDEIA :

A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para quaisquer 
naturais A e C vale :

RAIZ_N((A+C)/2) > (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2

O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de 
convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal 
como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA 
DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um 
caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE PONTENCIAS 
N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE !

Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1247,220502




>Oi Paulo!
>
>Não sei se compreendi bem esse seu e-mail. :)
>
>O problema é o seguinte: desenhe no plano os pontos (R_N(x), x) para todo x
>inteiro positivo. Você vai ter destacado alguns pontos da função contínua
>f(x) = R_N(x) para todo x real. Agora escolha uma PA de 3 termos inteiros
>positivos, digamos Y_1, Y_2, Y_3. Marque os três pontos no eixo ordenado
>(0,Y_1), (0, Y_2) e (0, Y_3), para cada um deles trace uma reta horizontal,
>ou seja, paralela ao eixo das abscissas. Suponhamos que essas três retas
>passem por três dos pontos do gráfico que você tinha destacado. Esses três
>pontos chame de (X_1, Y_1) também (X_2, Y_2) e finalmente (X_3, Y_3). O que
>nós temos, agora, é que os Y_1, Y_2 e Y_3 está em forma de PA, mas isso não
>precisa acontecer com os X_1, X_2 e X_3. OU SEJA, os pontos (X_n, Y_n) NÃO
>PRECISAM ESTAR SOBRE UMA RETA. E daí esse seu argumento não prova nada 
>sobre
>o problema inicial. Em outras palavras, o que você demonstrou pela
>convexidade da f, a saber, que nenhuma reta corta o gráfico da f em três
>pontos distintos, não garante que se p, q e r foram primos distintos então
>f(p), f(q) e f(r) não formam uma PA.
>
>Se o seu argumento é só um passo para resolver o problema, perdoe o meu
>comentário acima: mas eu acredito que esse caminho não vai levar a uma
>solução.
>
>E só para terminar o e-mail: o Fabio Dias Moreira é que ressaltou isso que
>eu disse aí em cima, e pelo visto, o Paulo não chegou a ler a mensagem 
>dele.
>
>Um abraço!
>
>Eduardo Casagrande Stabel.
>
>PS. eu não descarto a possibilidade de eu não ter compreendido bem as
>mensagens do Paulo e do Fábio, e eu é que precise de uma explicação.
>
>
> >
> > Era essa a ideia da demonstracao. Talvez eu nao tenha conseguido ser 
>claro
> > naquele momento. E obrigado pelo elogio.
> >
> > Um abraco
> > Fica com Deus
> > Paulo Santa Rita
> > 3,1635,210502
> >
> >
> > >From: peterdirichlet@zipmail.com.br
> > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >To: Lista de Discussao <obm-l@mat.puc-rio.br>,        p_ssr@hotmail.com
> > >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana
> > >( questao pessoal )
> > >Date: Tue, 21 May 2002 15:25:20 -0300
> > >O que eu realmente achei estranho foi o fato de ninguem(entre muitos de
> > >voces) me responder ha tanto tempo(1 mes e meio,por volta disso),a nao
> > >ser voce.Eu devia ter lhe respondido essa pergunta mas acabei 
> >cancelando
> > >sem
> > >querer a mensagem de resposta (junto com meu login), comentando a
> > > >genialidade da ideia,que alias tinha um furo(esta das raizes
> >cubicas.Eu
> > >tentei algo com Teoria dos Numeros mas nao obtive >exito.Voce usou
>graficos
> > >de funçoes. O problema era que a s funcoes >eram discretas(naturais)e 
>nao
> > >densas(reais).).
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