Re: [obm-l] triângulos

[ezer@xxxxxxxxx]

Olah Rafael,

Nao sei se entendi; vc quer uma formula geral 
para calcular o numero de triangulos iguais que um triangulo
semelhante a estes suporta em funcao do numero de lados dos
pequenos que cabem num grande?

Se for isso, eu pensei assim:

Podemos perceber que o numero de triangulos de uma carreira decresce
a cada carreira que se conta. E podemos perceber que para cada carreira tem
uma outra de numero de triangulos iguais, soh que de cabeca pra baixo, menos
a carreira da base. Com base nesses dados, podemos esbocar uma formula:

sendo N o numero de triangulos, e L o numero de lados;

N = L + 2(L-1) + 2(L-2) + 2(L-3) + ... + 2(L-(L-1))

Como podemos perceber, temos L termos, levando em conta o L.


N = L + 2((L -1)+(L-2)+(L-3)+... ) + 2(L-L+1)

N = L + 2 +2((L-1)+(L-2)...)
 
Nos temos L-2 termos dentro dos colchetes (sem levar em conta o L e o 2).
Logo:

N = L + 2 +2((L-2)L) -2(1+2+3+4...)

Aqui temos uma PA de termo inicial 1, razao 1 e termo final L-2

Logo, 1+2+3+4... +L-2 = [(1+L-2)(L-2)]/2 = (L^2 - 3L + 2)/2
Substituindo:

N = L + 2 +2((L-2)L) -2(L^2 - 3L +2)/2
N = L+2 +2L^2 - 4L -L^2 +3L - 2


Fazendo a continha, chegamos a incrivel formula:

N = L^2    :c)


Grande Abraco,


Ezer F. da Silva



On 18 May 2002 at 18:43, Rafael WC wrote:

> Pessoal, ontem mandei uma dúvida sobre contar o total
> de triângulos de todos os tamanhos de uma figura como
> a que enviei abaixo novamente. Pensei muito sobre esse
> problema e cheguei a uma fórmula não muito amigável,
> mas até que não é ruim. Já dá até pra escrever um
> algoritmo pra rodar no computador se quiser.
> 
> Primeiro, eu chamei de x o número de lados de
> triângulos que temos na base. Por exemplo, se tivermos
> um triângulo só x = 1.
> /_\
> 
> Se tivermos uma figura com quatro triângulos de menor
> tamanho, temos:
>   /_\
> /_\ /_\
> 
> x = 2
> 
> Na figura que mandei, temos x = 4.
> 
> Com isso, já que você tem triângulos de diferentes
> tamanhos, você deve contar separadamente os triângulos
> que têm como lado 1 traço, 2 traços, 3 traços...E
> depois tem que contar os triângulos que estão de
> cabeça pra baixo com esses mesmos tamanhos.
> 
> Se você fizer isso em função dos traços da base não
> fica muito ruim. Todas as linhas vou escrever a soma
> de várias parcelas de x menos alguma coisa. Quando
> você for calcular para algum x, você vai fazer as
> subtrações até encontrar o valor zero, aí você para.
> Por exemplo, na primeira linha temos:
> x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...
> 
> Se você tiver x = 2, você irá somar até x + (x - 1),
> porque o próximo dará zero e aí você deve parar.
> 
> Bom, no final você encontra isso:
> triângulos de lado 1:
> cabeça pra cima = x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) +
> ...
> cabeça pra baixo = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...
> total = x + 2.[(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...]
> É como se o triângulo maior de todos fosse dividido em
> várias linhas, aí você vai contando de cada linha.
> 
> triângulos de lado 2:
> cabeça pra cima = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x -
> 4) + ...
> cabeça pra baixo = (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ...
> total = (x - 1) + (x - 2) + 2.[(x - 3) + (x - 4) +
> ...]
> 
> Por que aqui começamos a ter de cabeça pra baixo só
> com (x - 3)? Porque para termos um triângulo de cabeça
> pra baixo, o triângulo maior tem que ter o dobro de
> traços na base do que o tamanho do triângulo. Como
> esse tem lado 2, precisamos ter x = 4, que se fizermos
> (x - 3) dará 1. Enquanto x for menor que 4 esse número
> será negativo ou zero e aí não vamos contar.
> 
> triângulos de lado 3:
> cabeça pra cima = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x -
> 5) + ...
> cabeça pra baixo = (x - 5) + (x - 6) + (x - 7) + ...
> total = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + 2.[(x - 5) +
> ...]
> 
> E assim teremos sempre esse padrão. Os triângulos de
> cabeça pra cima começam sempre com (x - a), onde "a" é
> o número anterior ao tamanho do triângulo. E os
> triângulos de cabeça pra baixo começam sempre com x -
> (2a - 1). Depois os outros termos você vai tirando
> sempre 1.
> 
> No final das contas você pode somar tudo isso. Soma os
> triângulo de cabeça pra cima com os de cabeça pra
> baixo de todos os tamanhos. O problema é que não pode
> desenvolver muita coisa, porque não pode misturar x -
> 3 com x - 4, porque se você tiver x = 4, você não terá
> o termo x - 4. Mas somando apenas x - 1 com x - 1 e x
> - 2 com x  -2, você terá:
> total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) + 7.(x -
> 4) + 9.(x - 5) + 10.(x - 6) + 12.(x - 7) + 13.(x - 8)
> + ...
> 
> No final você tem então todos os fatores x, x - 1, x -
> 2, x - 3, ... e os coeficientes de cada um têm uma
> ordem até boazinha:
> 1, (pula o 2), 3, 4, (pula o 5), 6, 7, (pula o 8), 9,
> 10, (pula o 11), 12, 13, (pula o 14), ...
> 
> E você vai usar a fórmula até o termo em que quando
> fizer a diferença de x com alguma coisa dê zero. Ou
> você pode até fazer a seguinte regra: considere que
> desse valor total você vai pegar apenas os x primeiros
> termos.
> 
> Por exemplo, vamos pegar o triângulo da figura que tem
> 4 traços na base, ou seja x = 4. Então vamos pegar até
> o quarto termo dessa fórmula e fazer x = 4:
> total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3)
> total = 4 + 3.(4 - 1) + 4.(4 - 2) + 6.(4 - 3)
> total = 4 + 3.3 + 4.2 + 6.1
> total = 4 + 9 + 8 + 6
> total = 27
> 
> E aí você pode fazer pra qualquer x. Aquele menor que
> tinha x = 2, só pegamos os 2 primeiros termos:
> total = x + 3.(x - 1)
> total = 2 + 3.(2 - 1)
> total = 2 + 3.1
> total = 2 + 3
> total = 5
> 
> De qualquer jeito você não precisa ficar contando um
> por um e correr o risco de se perder mais facilmente.
> 
> Mas o meu problema agora é o seguinte. Suspeito que
> ainda dê para simplificar a fórmula, considerando duas
> fórmulas, uma para quando x é par e outra para quando
> x é ímpar. Talvez simplifique, mas aí você tem duas
> fórmulas, não sei. Ainda não consegui.
> 
> Será que alguém consegue melhorar daqui pra frente. O
> pior acho que já passou.
> 
> Um abraço,
> 
> Rafael.
> 
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