Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Felipe, Guilherme e
demais colegas desta lista,

Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a 
alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir 
atingir os objetivos !


Devemos encontrar "a" e "b" inteiros nao-negativos. Como
(10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3
posso FATORAR o segundo membro assim :
a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2)
colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica :
(10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2)
como a + b > 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir 
tudo por a+b. Vai ficar :

10a + b = a^2 - ab + b^2

reduzindo os termos semelhantes

a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0

E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em "a". O Discriminante e :

(10 - b)^2 - 4*(b^2 - b)

Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0

Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e 
um quadrado perfeito e que implicam num  "a" inteiro positivo. Isso vai me 
fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema.

E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 
grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente 
minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio 
Ralph.

Um abracao
Paulo Santa Rita
5,1147,160502





>From: "Felipe Marinho" <piuwee@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400
>
>Olá Guilherme,
>
>Obrigado pela sua ajuda.
>
>Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 
>números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99).
>Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova.
>
>O enunciado da questão deve ser entendido como:
>
>(10a+b)(a+b) = a³+b³   (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma 
>dos dígitos)
>
>Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma 
>dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ].
>
>As opções dadas pelo problema é:
>a) 0
>b) 1
>c) 2
>d) 3
>e) 4
>
>Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a 
>resposta do problema.
>
>Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a 
>resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos 
>da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro.
>
>Agradeço desde já mais uma vez,
>Abraços
>
>Felipe Marinho
>
>>From: "Guilherme Pimentel" <guigous@uol.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300
>>
>>Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos:
>>a*b*(a + b) = a^3 + b^3
>>e que
>>a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b)
>>logo
>>a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b)
>>(a + b)^3 = 4a*b*(a + b)
>>supondo que a ou b sejam diferentes de zero:
>>(a + b)^2 = 4a*b
>>(a - b)^2 = 0
>>ou seja
>>a = b
>>agora vc conta quantos são...
>>
>>-----Mensagem original-----
>>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Felipe Marinho
>>Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>
>>
>>Olá pessoal da lista,
>>
>>Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas.
>>Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu
>>realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma 
>>vez.
>>
>>1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação
>>deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos.
>>Quantos e quais são esses números ?
>>
>>2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. 
>>Se
>>uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola 
>>numerada
>>com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar
>>as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ?
>>
>>Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda.
>>
>>E com um grande abraço a todos,
>>vou fechando mais este e-mail.
>>
>>Felipe Marinho
>>
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