[obm-l] Re: Maio01

["Alexandre Tessarollo" <tessa@xxxxxxxx>]

> Pessoal vocês poderiam me ajudar nessas duas questões da olimpíada de maio de 2001 ? 
> 1-Em volta de um círculo situam-se dez moedas de 1 cm de raio . Cada moeda é tangente ao círculo e
> às duas moedas vizinhas. Demonstre que a soma das áreas das dez moedas é o dobro da área do
> círculo. 
>

   Junte os centros das moedas e vc terá um decágono regular de lado 2cm (2r para generalizar). Junte os ponto de tangência das moedas com o círculo e vc terá outro decágono regular, de lado L e inscrito numa circunferência de raio R. Observe o trapézio formado pelos centros (O1 e O2) de duas moedas consecutivas e seus respectivos pontos de tangência com o círculo (T1 e T2). Temos o trapézio O1T1T2O2. Sabemos que o ângulo interno de um decágono regular é 144º. (Odeio essa frase, mas) é fácil ver que T1O1 e T2O2 bissectam os ângulos O1 e O2 do decágono maior. Logo, NO TRAPÉZIO, os ângulos O1 e O2 são de 72º. A base maior O1O2 é 2cm (2r).

   Projetando T1T2 em O1O2 e usando cosseno nos dois triângulos retângulos que "sobram", vemos que T1T2 é igual à 2-2cos(72) [2r-2cos(72), na nossa generalização]. Assim nós temos o valor do lado do decágono menor. Pelas propriedades de polígonos regulares, sabemos que L/2R=sen(180/n), onde R é o raio da circunscrita e n é o número de lados. No decágono menor, L=2-2cos(72) [2r-2cos(72)]. Aplicando essa fórmula e fazendo as contas, temos R=(r-sen(18))/sen(18).

   Queremos provar que 2*Pi*R^2=10*Pi*r^2. Ou seja, queremos mostrar que R^2=5*r^2. Fazendo as devidas substituições e simplificando, só precisaremos saber o seno de 18º. Só que esse vale (sqrt(5)-1)/4. Simplificando devidamente, veremos que, para r=1, a afirmação é válida, CQD.

  Talvez eu não tenha sido claro o suficiente em alguns pontos pq estou com sono agora, mas os resultados que eu não msotrei são facilmente comprováveis - vide a relação eentre o lado do polígono regular e o raio da circunscrita. O único resultado que eu usei e não sei mostrar é o valor do sen(18). Esse eu realmente "colei"  :)))

> 2-No trapézio ABCD, o lado DA é perpendicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede
> 20 e o lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede 45 e seja M o ponto médio de DA. 
>
> Calcule a medida do segmento PM. 
>

   Tá, DA=65. Mas cadê o ponto P? Meu e-mail atual é meio esquisitão, então nem sei se vc mandou um attach. Dei uma olhada no arquivo da lista e lá não tem anexo nenhum... Será q vc poderia descrever a posição de P?
> Obrigado 
>
> Marcus Dimitri 

[]'s

Alexandre Tessarollo
-- 
_______________________________________________
Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com
http://www.mail.com/?sr=signup

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================