[obm-l] Inducao

["Anderson" <globalx@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi,
    Estou com problemas nos conceitos do metodo de prova da inducao
matematica, alguem poderia ajduar? Vejam os exemplos abaixo e por favor
tentem me explicar o q esta errado ... ah, os problemas foram tirados do
livro do knuth...


1) Let "a" be any positive number. For all positive integers "n" we have
a^(n-1) = 1.
Proof: If n = 1, a^(n-1) = 1. And by induction, assuming that the theorem is
true for 1, 2, 3 ..., n, we have:
a^[(n+1) - 1] = a^n = a^(n-1) * a^(n-1) / a^(n-2) = 1*1/1 = 1

Onde esta o erro da prova de acordo com a definicao de inducao? Parece claro
q a hipotese a^(n-1) nao e valida para todo n, mas pela definicao de inducao
e necessario tambem provar para n=2? Ha tb o problema do termo a^(n-2) nao
estar definido para n=1, mas se ele estivesse definido como a^(n-2) = 1 a
prova estaria correta?


2) The following proof by induction seems correct, but for some reason the
equation for n = 6 gives
1/2 + 1/6  + 1/12 / + 1/20 + 1/30 = 5/6 on the left-hand sid, and 3/2 - 1/6
= 4/3 on the right-hand side. Find a mistake:

Theorem:
1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/(n-1)*n = 3/2 - 1/n

Proof:  We use induction on n. For n = 1, 3/2 - 1/n = 1/1*2 and, assuming
the theorem is true for n,

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/(n-1)*n  + 1/n*(n+1)

= 3/2 - 1/n + 1/n*(n+1) = 3/2 -1/n + [1/n - 1/(n+1)] = 3/2 - 1/(n+1)

Nesse eu so vi o problema do termo (n-1) nao estar definido para todo "n"
... sera so este o problema?

Obrigado,
Anderson






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