Re: [obm-l] Re: [obm-l] conferir....

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

1) A primeira Equacao Diofantina que se estuda e :

Ax + By = C

E existe um teorema que afirma que uma tal equacao so tem solucao se, e 
somente se, MDC(A,B) divide C. ( MDC(A,B) | C ). No seu problema, abaixo, 
devemos ter :

MDC(1001,770) | 1000000 + a

Como o lado esquerdo e conhecido, fica facil encontrar o "a" do lado 
direito.

2) Se A1, A2, A3, ..., An e uma PA entao :

1/A1*A2 = (1/R)*(1/A1  - 1/A2)
1/A2*A3 = (1/R)*(1/A2  - 1/A3)
...
1/An-1*An = (1/R)*(1/An-1  -    1/An)

somando e simplificando :

1/A1*A2 + 1/A2*A3 + ... + 1/An-1*An = (1/R)*(1/A1   -  1/An)

Esta expressao nao so nos permite obter uma formula "fechadinha" para a soma 
de N termos como calcular para onde tende a soma quando N -> +INF.

Em verdade, esta expressao e apenas um caso particular de algo muito mais 
amplo ... Para ver isso, a titulo de exemplificacao, pergunto : como 
fariamos para calcular :

1/A1*A2*A3 + 1/A2*A3*A4 + ... + 1/An-2*An-1*An ?

Aqui observe que :

1/A1*A2*A3 = (1/(2*(R^2))) * (1/A1 - 2/A2 + 1/A3)
1/A2*A3*A4 = (1/(2*(R^2))) * (1/A2 - 2/A3 + 1/A4)
1/A3*A4*A5 = (1/(2*(R^2))) * (1/A3 - 2/A4 + 1/A5)
...
1/An-2*An-1*An = (1/(2*(R^2))) * (1/An-2 - 2/An-1 + 1/An)

Mais uma vez : Esta expressao, nao so permite determinar uma formula 
fechadinha para a soma de N termos como avaliar para onde tende a soma 
quando N tende ao infinito. Esta semelhanca sera mera coincidencia ?

Nao !

Para 4 termos verifique que :

1/A1*A2*A3*A4 = K*(1/R^3)*(1/A1 - 3/A2 + 3/A3 - 1/A4), K=1/(3!)

O que voce vai observar de notavel e o seguinte :

O INVERSO DE UM PRODUTO ORDENADO DE n TERMOS TENDE SEMPRE PARA O INVERSO DE 
UM PRODUTO ORDENADO DE n-1 TERMOS. Prove isso por inducao !

Assim ...

1/AiAi+1 vai convergir para K*(1/A1)
1/A1Ai+1Ai+2 vai convergir para K*(1/A1*A2)

e assim sucessivamente. Em verdade tudo isso sao consequencias do TRIANGULO 
HARMONICO onde ficam os BRACOS NEGATIVOS ( ou Progressoes Aritmeticas de 
ordem negativa ) do Triangulo de Pascal. As relacoes esporadicas que vimos 
acima sao meras aplicacoes da generalizacao do teorema das colunas ...

Uma Pergunta : Por que nos nao conseguimos uma simplificacao semelhante 
quando Ai=Ai+1=Ai+2 = Ai^3. Uma resposta a essa pergunta pode levar ao 
calculo da serie :

1  +  1/8  +  1/27 + 1/64 + 1/125 + ...

Mas isso era um problema em aberto, onde fracassaram Euler e Gauss e, 
portanto, muito dificil, sendo assim desonesto propo-lo como uma mera 
questao olimpica.

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1401,060502









>1)Determine o menor inteiro positivo a para o qual a equação
>1001x+770y=1000000+a possui solução inteira e mostre que que há 100 
> >soluções inteiras positivas.
>2)Calcule o valor de 1/1*2+1/2*3+....+1/(n-1)*n
>    Valeu
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