Re: [obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração

["Marcelo Souza" <marcelo_souza7@xxxxxxxxxxx>]

Fala cara, blz?
O fato eh que esse problema eh da eureka e eu nem li o que o garoto 
escreveu, soh li a fatoracao e lembrei na hora...pelo menos eu acho (naum 
tenho certeza) que na eureka eu li reais positivos, pus ateh no final 
escrito que x,y,z sao positivos, pois caso naum fosse estaria explicado o 
fato...mas bom vc avisar antes de eu mandar as solucoes
abracos
Marcelo


>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração
>Date: Wed, 24 Apr 2002 13:56:20 -0300
>
>Acho que não é bem assim...
>
>= (x^2+y^2-z^2)^2 -(2xy)^2 = [ (x+y)^2 -z^2 ] * [ (x-y)^2 - z^2 ]
>= -(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) ok, até aqui tá igual. Mas vc usou o fato
>de x, y, z serem positivos, o que não é dado...
>Sejam P=x+y+z, Q= -x+y+z, R=x-y+z e S=x+y-z. Daí, A=-PQRS.
>É fácil ver que P==Q==R==S (mod2), logo têm a mesma paridade. Se forem 
>todos
>ímpares, A será ímpar, portanto diferente de 2000. Então P, Q, R e S são
>pares.
>2000 = (2^4)*5^3 ou seja, temos 4 fatores 2 e 3 fatores 5 para distribuir
>entre P,Q, R e S. Os fatores 2 já estão distribuídos. Como são 4 caras e 3
>cincos, alguém fica sem nenhum 5, ou seja, é igual a +-2.
>P+Q+R+S = -2(x+y+z)
>As fatorações possíveis são ( a menos da ordem e do sinal de cada fator ) :
>2*2*2*250, 2*2*10*50, 2*10*10*10.
>Vemos que em todos os casos a soma não é múltipla de 5 ( independente dos
>sinais dos fatores ), então x+y+z = +-2.
>Se x+y+z = 2, A= -2(2-2z)(2-2y)(2-2x) = 16*(z-1)(y-1)(x-1). Mas agora é
>fácil, pois as únicas possibilidades são 16*1*1*125, 16*1*5*25 e 16*5*5*5
>  a menos da ordem e dos sinais ). Como (x-1)+(y-1)+(z-1)= -1, temos que a
>terceira possibilidade é ímpossível, pois para qq escolha de sinais a soma 
>é
>múltipla de 5, logo não é -1. Na segunda possibilidade, temos
>obrigatoriamente um fator -1, mas isso quer dizer que um dos x, y, z é 
>zero.
>Suponha sem perdas que seja x. Daí, A = y^4+z^4-2(yz)^2 = (y^2-z^2)^2, que 
>é
>quadrado, logo não pode ser 2000. E para a primeira possibilidade, é fácil
>ver que a soma de 1, 1 e 125 ( podendo mudar o sinal), só pode ser 2,0,-2
>mod5, logo não é -1. Então o caso x+y+z = 2 está esgotado.
>Se x+y+z = -2, então A = 2(-2-2x)(-2-2y)(-2-2z) = -16(x+1)(y+1)(z+1). É bem
>parecido com o caso anterior. As possibilidades são as mesmas que as do 
>caso
>anterior, no entanto, devemos ter obrigatoriamente álguem negativo. Assim,
>esgotando todos os casos, terminamos a prova.
>Ainda espero que tenha uma forma mais rápida de fazer isso, pq há um tempo
>eu tinha pensado nesse problema e consegui fazê-lo mais rapidamente... qq
>coisa, ou erro, avisem.
>Abraços,
>  Villard
>-----Mensagem original-----
>De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Terça-feira, 23 de Abril de 2002 10:20
>Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração
>
>
> >
> >1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) -
> >-2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução
> >inteira.
> >A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2
> >A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz)
> >A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2)
> >A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z)
> >Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh
>negativo,
> >logo A<0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao
> >pra 2000
> >falow.
> >marcelo
> >
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