Re: [obm-l] Re:

[Marcos Aurélio Almeida da Silva <maurelio1234@xxxxxxxxxxxx>]

outro dia estava pensando sob re esse tipo de questão(a^x=x^a) e eu descobri
um jeito de descobrir o número de soluções positivas, se ajudar a clarear :

    a^x = x^a
    e^(x*lna) = e^(a*lnx)
    x*lna = a*lnx
    lnx/x = lna/a
    e^(lnx/x) = e^(lna/a)
    x^(1/x) = a^(1/a)

como a^(1/a) é uma função constante o problema se resume a descobrir o
número de vezes que seu gráfico corta o de x^(1/x).

para esboçar o gráfico de x^(1/x)=f(x) :

lim f(x) = 1
x->+inf

lim f(x) = 0
x->0

f ' (x) = x ^((1-2x)/x) * (1-lnx)

quando f ' (x)  = 0 ou não exixtir, provavelmente haverá um ponto de máximo,
ou de mínimo:

f '( x) = x ^((1-2x)/x) * (1-lnx) = 0, se um dos dois fatores for 0 ou não
existir

x^((1-2x)/x) = 0 , esse fator não pode ser zero mas não existe para x=0

1-lnx = 1
1 = lnx
e^1 = e^lnx
x = e,
esse fator não existe quando lnx não existir, ou seja quando x<=0

sabendo que o ponto x=e o gráfico de f(x) é máximo seria começando do zero
subindo até o máximo em              (e;e^(1/e)) e depois tendendo à 1.
(Fazendo o gráfico no excel, vê-se que é assim).

para ver as soluções positivas:

se a^(1/a) < 1 => 1 solução positiva menor que 1
se 1 < a^(1/a) < e^(1/e) => 2 soluções positivas
se a^(1/a) = e^(1/a) => 1 solução positiva igual a e
se a^(1/a) = 1 => 1 solução positiva igual a 1

no caso de x^2 = 2^x

2^(1/2) =  1,414213562373...

1 <  1,414213562373... < 1,44466786100977...
logo há duas soluções positivas, uma entre 0 e e (x=2) e outra entre e e
+inf (x=4)

agora eu não sei fazer o gráfico do lado negativo, pois ele não é contínuo

f(x) = x^(1/x)

f(x) < 0 se: 1) x<0, logo f(x) = 1 / (x^(1/|x|)), logo:
                   2) x deve ser  ímpar, ou uma fração irredutível de
denominador ímpar

----- Original Message -----
From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, April 19, 2002 11:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Re:


> Desenhando com cuidado, vemos que existem 3 soluções. Da outra vez que
este
> problema passou na lista, acharam a raiz negativa por métodos numéricos.
>
> Bruno Leite
> http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>   At 13:47 19/04/02 +0000, you wrote:
>
> >  Já vi esta questão antes e são 3 soluções reais; 2 e 4 são fáceis de
> > serem vistas, mas existe uma terceira...alguém consegue achar??
> >  []´s
> >Fê
> >
> >
> >
> >
> >>     Essa eu já vi diversas similares mas até hoje não aprendi a fazer
esse
> >>tipo de questão... Mas, se for te ajudar, x=2 é uma soluçào "óbvia" do
> >>equação. Olhando pelo gráfico de x^2 e 2^x (um tanto similar a da
exp(x)),
> >>vemos que eles se cortam em apenas dois pontos. Resta agora achar o
outro.
> >>
> >>Parêntesis
> >>     Momento infame e infeliz daquele professor q não sabe responder:
> >> "Pronto,
> >>já resolvi metade do prob com x=2 e indiquei o caminho para a segunda
raiz.
> >>Agora o resto é com vc"
> >>Fim do(s) parêntesis
> >>
> >>[]'s
> >>
> >>Alexandre Tessarollo
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