Re: [obm-l] Casa dos Papagaios

[Humberto Naves <hnaves@xxxxxxxxx>]

 --- peterdirichlet@mtv.com.br escreveu: > Algumas
coisas de Casa de Pombo que estao me
> atormentandoooooooooooooooooooooo:
> 01)Seja (a(i))(0<i<mn+1 natural)uma sequencia
> crescente.Prove que ha m+1
> numeros cada um dividindo o proximo ou n+1 deles com
> cada um nao dividindo
> o outro.
> 02)Prove que essa tarefa e impossivel:
> Distribua os inteiros de 1 ate 1978 em 6 caixas com
> a seguinte condiçao:
>  
> -Se ha dois x,y na mesma caixa,nao se deve deixar
> nessa caixa os elementos
> 2*x,2*y e x+y.
> -nao deixar ninguem de fora das caixas.
> 03)Ache todos os p,q,r,s naturais com p>r,q>s e
> q+(q+p)^2=s+(s+r)^2.
> 04)Sera que eu poderia enviar problemas diversos(que
> eu ja sei resolver)tais
> que toda a turma pudesse treinar para as olimpiadas?
> Ate mais!!!!!!!!!Dirichlet.

   Olá,
 1) O Problema 1 é conhecido, mas em sua outra versão,
que ao invés da relação de ordem > (maior), temos a
relação de ordem | (divide). Mas de qualquer maneira,
vamos provar:
 Seja b(i) o tamanho da maior sequencia de números
comecando com o número a(i), tal que cada termo divide
o próximo. Se existir algum b(i) > m, então acabou!
Supomos que b(i) <= m para todo i, então pelo
princípio da casa dos pombos, existe j <= m tal que:
b(i(1))=b(i(2))=...=b(i(n+1)) = j , com i(1) < i(2) <
... < i(n+1) (Dividimos os b(i)'s entre as caixas 1,
2, ..., m). Então a sequência a(i(1)), a(i(2)), ...,
a(i(n+1)) é tal que nenhum termo divide o seu próximo,
pois se a(i(m)) | a(i(m+1)) então b(i(m)) >=
b(i(m+1))+1 (lembre da definição de b(i)), o que é um
absurdo!
 Falow, Humberto Silva Naves


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