Re: [obm-l] Teorema dos 5 cubos

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Já que ninguém se abilitou, aí vai:

Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos.

Demonstração:

Observa-se que
(k + 1)^3 – 2k^3 + (k – 1)^3 =
= (k + 1)^3 + (– k^3) + (– k^3) + (k – 1)^3 = 6k.
Desta forma, todo inteiro múltiplo de 6 pode ser escrito como soma de 4 
cubos.
Pode-se escrever também todo inteiro n das seguintes formas:
  i) n = 6q = 6x + 0^3
ii) n = 6q + 1 = 6x + 1^3
iii) n = 6q + 2 = 6(x + 1) + 2 = 6x + 8 = 6x + 2^3
iv) n = 6q + 3 = 6(x + 4) + 3 = 6x + 27 = 6x + 3^3
v) n = 6q + 4 = 6(x – 2) + 4 = 6x – 8 = 6x + (– 2)^3
vi) n = 6q + 5 = 6(x – 1) + 5 = 6x – 1 = 6x + (– 1)^3
Assim, podemos escrever que todo inteiro n é da forma:  n = 6k + j^3,  onde 
j = – 2 ou – 1 ou 0 ou 1 ou 2 ou 3.
Sendo  6k = n – j^3   =>
(k + 1)^3 + (– k^3) + (– k^3) + (k – 1)^3 = n – j^3   =>
n = (k + 1)^3 + (– k^3) + (– k^3) + (k – 1)^3 + j^3



>From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <jfgcosta@unisys.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
>Date: Fri, 12 Apr 2002 16:48:40 -0300
>
>Teorema dos cinco cubos:
>
>Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos.
>
>JF
>
>-----Mensagem Original-----
>De: Bruno F. C. Leite <bruleite@terra.com.br>
>Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34
>Assunto: [obm-l] Re:
>
>
> > >05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de
> > >4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos?
> >
> > Que teorema dos 5 cubos é esse?
> >
> > Bruno Leite
> > http://www.ime.usp.br/~brleite
> >
>
>
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