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Caros amigos: Este exercicio foi enviado para a lista jah faz algum tempo,
mas parece-me
que ainda nao foi respondida. Primeiramente, vamos pensar (apenas como ensaio) no caso de n ser par. Nesta situacao, 11 ... 1 ( n algarismos) eh divisivel por 11. Basta ver que [10^(n-2) +10^(n-4) + ... +10^2 + 1] . [10 + 1] = 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10 +1. Em outras palavras, (101010 ...101).(11) = 11 ... 1. Mais um exemplo: 11 ... 1 (quinze 1's) eh divisivel por 111 e tambem por 11111.Observe que 15 = 3.5. As fatoracoes que se obtem sao 111111111111111=(1001001001001).(111) ou, se voces preferirem, 111111111111111=(10000100001).(11111). Jah deu para perceber como se pode generalizar o problema ? Conte o numero de zeros e 1's nas fatoracoes acima. Veja tambem a periodicidade com que eles aparecem. Se os exemplos que dei nao forem suficientes para se perceber a lei de formacao, construa mais alguns; faca n = 18, 21, 24, 28, etc. Se voce dispuser de algum software, farah isso rapidamente; se nao, faca no braco mesmo. Agora vamos aa solucao propriamente dita. Suponha que n = p.q, onde p e q sao inteiros maiores que 1 e menores que n. Verifique, agora, que [1 + 10 + 10^2 + ... + 10^(q-2) + 10^(q-1)].[1 + 10^q + 10^(2q) + ... + 10^((p -1).q)] = 10^(pq - 1) + 10^(pq - 2) + ... + 10 +1. Em outras palavras, 11 ... 1 (n algarismos) eh o produto de 11 ... 1 (q algarismos) por 10 ... 010 ... 010 ... 0 ... 1 (explico: 1 seguido de q - 1 zeros, 1 seguido de q -1 zeros, ... , 1). Um abraco a todos, Luiz Alberto Salomao Rubens Vilhena wrote: Olá, pessoal! Espero que me ajudem em minhas dúvidas sobre Números Inteiros. 1) Se n é composto então o número 111....11 (n vezes) também é composto. Obrigado! |