[obm-l] Triangulo Harmonico

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal !

Numa Mensagem anterior fiz referencia a o TRIANGULO HARMONICO. 
Surpreendentemente algumas pessoas me contactaram solicitando mais 
informacoes sobre este TRIANGULO ARITMETICO. Com esta mensagem tento 
responder a todos.


O TRIANGULO HARMONICO comeca com a SERIE HARMONICA na vertical ( que e a 
PRIMEIRA COLUNA do triangulo ), iniciando assim :

1
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1/7
1/8
...

Para montar a segunda coluna iniciamos na segunda linha. Cadas termo da 
segunda coluna e igual a diferenca entre dois outros da primeira coluna : o 
que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim :

1 - 1/2=1/2; 1/2 - 1/3=1/6; 1/3 - 1/4=1/12; 1/4 - 1/5=1/20;
1/5 - 1/6=1/30; 1/6 - 1/7=1/42; 1/7 - 1/8=1/56.

1
1/2  1/2
1/3  1/6
1/4  1/12
1/5  1/20
1/6  1/30
1/7  1/42
1/8  1/56
...  ...

Para montar a terceira coluna iniciamos na terceira linha. Cadas termo da 
terceira coluna e igual a diferenca entre dois outros da segunda coluna : o 
que esta a sua esquerda e o que esta acima dele. Asim :

1/2 - 1/6=1/3; 1/6 - 1/12=1/4; 1/12 - 1/20=1/30; 1/20 - 1/30=1/60
1/30 - 1/42=1/105; 1/42 - 1/56=1/126

1
1/2  1/2
1/3  1/6   1/3
1/4  1/12  1/12
1/5  1/20  1/30
1/6  1/30  1/60
1/7  1/42  1/105
1/8  1/56  1/126
...  ...   ...

Bom. Agora e facil construir o triangulo. A i-esima coluna inicia na
i-esima linha e cada termo e igual a diferenca entre dois outros da
(i-1)-esima coluna : o que esta a esquerda e o que fica acima deste.

Esse traingulo e tambem conhecido como TRIANGULO DE LEIBNIZ. Por que ?
Porque Leibniz o usou para calcular o valor da serie infinita dos inversos 
dos numeros triangulares ( Este problema foi proposto a Leibniz por Huigens 
). Leibniz fez :

1/[N(N+1)] = 1/N  -    1/N+1


portanto : 1/1*2 + 1/2*3 + ... = 1  -  1/(N+1)
logo o Limite ( para N tendendo ao infinito ) da UM. Observe que esta serie 
e a segunda coluna do TRIANGULO HARMONICO. De maneira geral, somando 
qualquer coluna desde o infinito ate um termo qualquer, o resultado e o 
termo acima do termo imediatamente a esquerda do ponto de parada.

O triangulo tem, para cada propriedade do triangulo de pascal, uma 
semelhante. Isso e altamente inspirador ... Fica dificil nao imaginar que 
estes dois triangulos nao sejam os aspectos visiveis e conhecidos de uma 
estrutura mais ampla, da qual pudessemos deduzir nao so os fatos relativos a 
eles que ja conhecemos mais muitas outras mais, talvez surpreendentes, que 
jogassem para mais longe os limites de nossa ignorancia ... Talvez o 
obstaculo basico a se transpor e nos livrar da forma tradicional de 
contagem, quando dizemos quase inconscientemente que o numero binomial 
BIN(N,P) e a quantidade de conjuntos de P elementos que podemos formar de um 
conjunto com N elementos. Por que nao ver a contagem tradicional como uma 
mera interpretacao ? Se pensarmos assim BIN(N,P) pode ser apenas "AS 
COORDENADAS" de "UM LUGAR" que, eventualmente, pode ser interpretada como 
uma contagem. Essa forma de olhar as coisas nos permitiria associar a cada 
termo do TRIANGULO HARMONICA um par de coordenadas (N,P) com N negativo ... 
O livro do Prof Nicolau ( Matematica Quantica ) disponivel na home-page dele 
fala de "q-contagens" e constroi estruturas que de alguma forma mantem um 
paralelo com estas coisas ...

Bom. Acho que, agora, o triangulo harmonico ficou mais conhecido e a sua 
importancia realcada.

Um abraco a Todos
Paulo Santa Rita
6,1247,050402





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