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Re: [obm-l] Re: Outra Fatoracao...mais complicada

Bom, acho que o polinômio que o Niski quer fatorar em
R é x^6 + x^3y^3 + y^6 e não x^6 + x^3y^3 + y^3. O
segundo não sei ainda como fatorar, mas dá para
fatorar o primeiro. Imaginando P(x,y) = x^6 + x^3y^3 +
y^6 como um polinômio em x, temos que P(x,y) = 0 se e
somente se x^9 = y^9 com x^3 diferente de y^3 (observe
que P(x,y) = (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3). Logo x = y*w^k,
sendo w = cos(2pi/9) + isen(2pi/9) (é isso aí, w é uma
raiz nona da unidade!), k = 1,2,4,5,7,8. Queremos
fatorar em reais, assim devemos juntar as raízes
conjugadas, ou seja, as associadas a 1 e 8, 2 e 7 e 4
e 5. Assim,

P(x,y) = (x^2 - 2cos(2pi/9)xy + y^2)
        *(x^2 - 2cos(4pi/9)xy + y^2)
        *(x^2 - 2cos(8pi/9)xy + y^2)

Não dá para fatorar mais pois as raízes (ainda
pensando que P(x,y) é um polinômio em x) são complexas
não reais.

Bom, vamos ver se não errei conta (isso é
importante!). Se abrirmos tudo, temos

P(x,y) = x^6 + y^6 - 2(x^5y + xy^5)s_1 + 
        (x^4y^2 + x^2y^4)(3 + 4s_2) +
         x^3y^3(-4s_1 - 8s_3)

s_1 = cos(2pi/9) + cos(4pi/9) + cos(8pi/9)
s_2 = cos(2pi/9)*cos(4pi/9) + 
      cos(4pi/9)*cos(8pi/9) + 
      cos(8pi/9)*cos(2pi/9)
s_3 = cos(2pi/9)*cos(4pi/9)*cos(8pi/9) 

Parece dureza calcular s_1, s_2 e s_3? Use números
complexos! Veja que

s_1 = [e^(i*2pi/9) + e^(-i*2pi/9)
     + e^(i*4pi/9) + e^(-i*4pi/9)
     + e^(i*8pi/9) + e^(-i*8pi/9)]/2
    = [e^(i*2pi/9) + e^(i*16pi/9)
     + e^(i*4pi/9) + e^(i*14pi/9)
     + e^(i*8pi/9) + e^(i*10pi/9)]/2
    = [-1 - e^(i*2pi/3) - e^(-i*2pi/3)]/2
    = -1/2 - cos(2pi/3)
    = 0

Em um certo momento, usei o fato de que e^(i*2pi/9) +
e^(i*4pi/9) + e^(i*6pi/9) + ... + e^(i*18pi/9) = 0
(temos que e^(i*2k*pi/9), k=1,2,3,...,9 são as raízes
da equação x^9 - 1 = 0).

Com mais complexos, encontramos s_2 = -3/4 e 
s_3 = -1/8. Para achar s_3, vc pode também usar um
"catalisador":

  s_3
= cos(2pi/9)cos(4pi/9)cos(8pi/9)
= sen(2pi/9)cos(2pi/9)cos(4pi/9)cos(8pi/9)/sen(2pi/9)
= sen(4pi/9)cos(4pi/9)cos(8pi/9)/2sen(2pi/9)
= sen(8pi/9)cos(8pi/9)/4sen(2pi/9)
= sen(16pi/9)/8sen(2pi/9)
= -sen(2pi/9)/8sen(2pi/9)
= -1/8

Substituindo, verifica-se que a fatoração está
correta. E viva os complexos!

[]'s
Shine

--- niski <fabio@niski.com> wrote:
> Davidson Estanislau wrote:
> > 
> >    Ainda não entendi!
> > 
> >    Você pode ser mais claro?
> > 
> >     x^6 + x^3y^3 + y^3 = (1/4)(2x^3 + y^3 + (y^6 -
> 4y^3)^(1/2))(2x^3 + y^3 -
> > (y^6 - 4y^3)^(1/2));  (y^6 - 4y^3)>=0
> > 
> >    Eu não transformei o polinômio original em um
> produto de dois outros
> > polinômios? Onde está o erro?
> 
> Pq vc restringiu o dominio.
> Veja, é para fatorar nos reais certo?
> O seu resultado estaria certo se o enunciado fosse
> "fatorar em Reais, execto para y 0 < y < 2^(2/3)"
> 
> 
> 
> >    O fato de (y^6 - 4y^3) > 0, é somente uma
> condição para que não apareça
> > uma raiz negativa. Não houve necessidade que
> indicar uma condição de
> > existência para a variável x. Mas se você tivesse
> fatorado, da seguinte
> > maneira:
> > 
> >      x^6 + x^3y^3 + y^6
> >      (x^3 + y^3)^2 - x^2y^3
> >      [x^3 + y^3 + xy((xy)^1/2][x^3 + y^3 -
> xy((xy)^1/2]
> > 
> >    A condição, seria: x<>0 e  y<>0.
> > 
> >    Olhando pela primeira fatoração poderíamos ter
> dito que você restringiu
> > x, não é?
> 
> Sim, creio que essa fatoracao esteja igualmente
> errada a sua ultima,
> pois do mesmo modo que
> fazer x <> 0 e y <> 0 seria um erro pois estaria
> restringindo o dominio,
> fazer 0 < y < 2^(2/3) é a mesma coisa creio eu.
> 
> 
> -- 
> [about him:]
> "It is rare to find learned men who are clean, do
> not stink and have a
> sense of humour."
> Gottfried Whilhem Leibniz
>
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