Re: [obm-l] (a+bi)^(c+di)

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

O Nicolau e o Morgado ja responderam de maneira sucinta.
Mas como voce me provocou de modo especial, vou tambem responder de modo
prolixo.

Ja para reais, a definicao de a^b nao eh "tranquila" e nao eh "uniforme".
Para expoente natural >1: produto de b fatores, etc. Ja para b=1 e b=0,
necessitamos de definicoes especiais (e talvez ja restricao para a=0).
Para b racional positivo, eh conhecido, e tambem ja apresenta outras
restricoes [por exemplo, (-2)^(3/2) nao eh definido].
Para b<0, eh conhecido, com a restricao adicional: a diferente de 0.
Para b irracional (real de um modo geral), ja eh problematica. Ha varios
caminhos. Um deles  eh partir da funcao exponencial. E, curiosamente, isto
pode ser feito diretamente nos complexos.
Mas vamos comecar pelos reais. Suponha dada a funcao exponencial
f(x)=exp(x)=e^x.
[Isto pode ser definido: 1) por serie de potencias e^x=soma de 0 a infinito
de x^n /
 n!, e obtem-se depois sua inversa, o logaritmo natural; ou, por exemplo: 2)
como inversa da funcao logaritmo natural, a qual seria definida como a
integral de 1 a x de 1/t dt. Naturalmente, ha outros caminhos].
Agora, dado qualquer real positivo a, e qualquer real b, define-se a^b=e^(b
ln a). com esta definicao, eh possivel mostrar que: 1) ficam preservadas as
leis usuais de exponenciacao, como a^(b+c)=(a^b)*(a^c); 2) se o expoente for
racional, esta definicao coincide com as definicoes anteriores.

Passemos para os complexos, onde comecaremos de novo com a funcao
exponencial, generalizada agora para complexos. Muitas pessoas, como eu,
estudaram, na decada de 70, pelos livros do Walter Rudin. Havia o Rudinzinho
(Principles of Mathematical Analysis), o Rudinzao (Real and Complex
Analysis) e o Rudinzasso (Functional Analysis). Antes do capitulo 1, o
Rudinzao comeca com um Prologo assim: "A Funcao Exponencial. Esta eh sem
duvida a funcao mais importante em Matematica. Eh definida, para todo numero
complexo z, pela formula:
exp(z)= soma de 0 a infinito de z^n / n! "
E, nas 3 paginas seguintes, mostra que isto estah bem definido, que tem as
propriedades esperadas de exponenciacao, tira os casos particulares de
reais, e mais: dahi, ele define (!) seno e cosseno e mostra que, como
apontou o Nicolau, exp(x+iy)=e^x cis y, onde x e y sao reais, e cis=cos + i
sen.

A ideia natural de definir um logaritmo para complexos seria, como no caso
real, tomar a inversa de exp. Infelizmente, enquanto exp, restrita aos
reais, eh bijetiva, isto nao ocorre nos complexos em geral. Por exemplo,
exp(2k pi)=1, para todo k inteiro. Isto gerou, historicamente, toda uma
questao. No inicio, definiu-se logaritmo como uma "funcao multivoca", do
qual se destacavam infinitos "ramos" continuos. Mais tarde, estes conceitos
cairam em desuso. Hoje  costuma-se reservar, como todos sabem, o nome de
funcao so para as antigas "funcoes univocas": a cada z associa-se um e
somente um f(z), etc. Com isto, ha, nos complexos,  uma infinidade de
funcoes logaritmo [mesmo se impusermos restricoes de continuidade ou
analiticidade]. Em outras palavras, cada complexo tem uma infinidade de
logaritmos. Mais precisamente: dado z=r cis t nao nulo, achar ln(z)=w=x+iy
equivale a resolver e^w=z, ou seja: e^x cis y = r cis t. Encontra-se: x= ln
r [aqui o logaritmo real] e y=t+2k pi. Conclusao: os logaritmos de z sao: ln
r + i (t+2k pi).

E, finalmente, para z^w, a ideia eh, para preservar as propriedades de
exponenciacao, definir z^w = e^(w ln z). E eh isto mesmo, so que ln z assume
uma infinidade de valores. E isto explica porque z^w tem uma infinidade de
valores, como havia dito o Nicolau.
Exemplo: (1+i)^i = e^(i ln(1+ i)) . Porem, ln(1+i)= ln (raiz de 2) + i (pi/4
+ 2k pi).
Portanto: (1+i)^i = e^(-pi/4-2k pi) cis(1/2 ln 2) [confira!].
JP



----- Original Message -----
From: Alexandre Tessarollo <tessa@vento.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, March 30, 2002 2:08 AM
Subject: [obm-l] (a+bi)^(c+di)


Esta é para todos, em especial o JP e o séquito de "seguidores" que se forma
aqui na lista :-)

  Como faço para elevar um número complexo qualquer a outro? Sei que isso
é possível, mas ainda não vi essa parte na fac... Seria possível pelo menos
uma dica ou idéia de como se faz? Alguma bibliografia?

[]´s e Feliz Páscoa!!

Alexandre Tessarollo



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