Re: [obm-l] integral impropria

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Para manter essa lista continua, vamos a uma solucao usando numeros
complexos e Cauchy... (eu achei q tivesse mandado uma msg antes pra lista
sobre essa integral, mas acho q mandei errado.. de qq jeito, era uma solucao
errada q eu achei q estava certa...).

Considere a curva C formada pela metade superior de uma circunferencia de
raio R>1 e centro na origem mais o seu diametro no eixo real.
O que vc pede eh a parte real de I = Int_em_C [exp(rix) / (1+x^2) ].
Pela formula integral de Cauchy, notando que 1/(1+x^2) = [1/(x-i) -
1/(x+i)]/2i
I = 2Pi*i*exp(r*i*i*)/2i = Pi*exp(-r)

Por outro lado, essa integral pode ser separada em duas:
I = Int_-R a R_ [cos(rx)/(1+x^2)] + Int_z=Rexp(it),
t=0..Pi_[e^(rix)/(1+x^2)]
A primeira integral (o seno some pq eh funcao impar) vale duas vezes a
integral que vc deseja calcular (fazendo R-> oo).
Qto a segunda, nao eh dificil mostrar que ela tende a zero. De fato,
o integrando tem modulo menor que 1/(1+Rexp(it))
Mas |1+Rexp(it)| > | |R|-1 | = R - 1 donde 1/(1+Rexp(it)) < 1/(R-1), e a
integral vale Pi/(R-1), que tende a zero quando R cresce.

Juntando tudo, vc conclui que int(cos(rx)/(1+x^2))dx de 0 a infinito =
[Pi*exp(-r)] / 2

Se eu conseguir uma solucao mais simples, sem usar complexos, mando depois
(ou espero alguem mandar, pois eu ja tentei e nao estava conseguindo).. Mas
essa solucao eh legal pq pode ser adaptada em diversas outras integrais
improprias reais...

Abracos,
Marcio


----- Original Message -----
From: "Caio Augusto" <caio.lic@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, March 24, 2002 1:42 AM
Subject: [obm-l] integral impropria


> Ola,
>
> Gostaria de ter ajuda na resolução da seguinte integral imprópria:
>
> int(cos(rx)/(1+x^2))dx de 0 a infinito
>
> Lendo fica assim: Integral de zero a infinito de cosseno de (r vezes x)
> dividido por um mais x ao quadrado em relação a x.
>
> Obrigado,
> Caio Augusto
> caio.lic@bol.com.br
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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