[obm-l] Mail do David (geometria)

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

Oi pessoal

O David está com problemas com o mail dele e me pediu para mandar a 
mensagem abaixo.

Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite


-----Mensagem original-----
De: David Daniel Turchick <dturchic@colband.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 28 de Fevereiro de 2002 01:37
Assunto: Re: [obm-l] GEO-prova

Olá, Josimar.

Correçãozinha: o quarto Postulado de Euclides diz que todos os ângulos 
retos são congruentes, não iguais.
Nota: a definição de ângulo reto é "aquele que é congruente a seu 
suplementar". Alguém pode pensar "Ué, pensava que era 'aquele cuja medida 
em graus é 90'!" OK, mas então vc tá usando o Postulado do Transferidor, 
que vc disse que não quer. Esse "postulado" na verdade é um teorema que 
segue da propriedade de Arquimedes, que por sua vez segue do axioma da 
continuidade (de Dedekind).
O quarto Postulado de Euclides é um teorema que só depende dos axiomas de 
incidência, estar entre e congruência, então vale, além de na Geometria 
Euclidiana, na Hiperbólica, e em Geometrias sem o axioma da continuidade. 
Vou traçar um esquema para essa prova me baseando no excelente livro 
"Euclidean and Non-Euclidean Geometries - Development and History", de 
Marvin J. Greenberg. Se está interessado nos Fundamentos da Geometria, 
realmente esse livro vale a pena!

Def.: ^ABC < ^DEF sse existe uma semi-reta EG entre as semi-retas ED e EF 
tq ^ABC < ^GEF.
Lema 1: a ordem < para ângulos é completa (ou linear), i.e., tricotômica 
(^P < ^Q ou ^P ~= ^Q ou ^P > ^Q), anti-simétrica (se ^P < ^Q, então ^Q !< 
^P) e transitiva (se ^P < ^Q e ^Q < ^R, então ^P < ^R). Também vale que se 
^P < ^Q e ^Q ~= ^R, então ^P < ^R.
Lema 2: suplementos de ângulos congruentes são congruentes.
Def.: D está no interior de ^CAB sse C e D estão no mesmo lado da reta AB e 
B e D estão no mesmo lado da reta AC. Neste caso, tb dizemos que a 
semi-reta AD está entre as semi-retas AB e AC.
Lema 3: se D está no interior de ^CAB e vale C*A*E (A está entre C e E), 
então B está no interior de ^DAE.
Agora o 4.o Post. de Euclides:
Sejam ^BAD e ^FEH retos, e ^CAD e ^GEH suplementares seus. Se ^BAD e ^FEH 
não fossem congruentes, pelo lema 2, um seria menor que o outro. Sem perda 
de generalidade, seja ^FEH < ^BAD, i.e., existe semi-reta AJ entre AB e AD 
tq ^BAJ ~= ^FEH. Pelo lema 2, ^CAJ ~= ~GEH, e como ^GEH ~= ^FEH, ^CAJ ~= 
^FEH (o 5.o axioma de congruência diz que congruência entre ângulos é uma 
relação de equivalência). Logo, ^BAJ ~= ^CAJ. Agora tome semi-reta AK entre 
as semi-retas AD e AC com ^BAJ ~= ^CAK (lema 1). Então, pelo lema 3, ^CAD < 
^CAJ ~= ^CAK < ^CAD, absurdo pelo lema 1.

Boa sorte com os lemas (o 1 é chatinho...)! Espero ter sido razoavelmente 
claro, caso contrário avise-me.
-----Mensagem original-----
De: Josimar <josimat@openlink.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 26 de Fevereiro de 2002 17:31
Assunto: [obm-l] GEO-prova

Olá amigos!

Adaptei o texto que segue para ser colocado num e-mail (sem anexo). 
Digitei-o há alguns anos, mas com muitos símbolos. Alguém poderia me ajudar 
como o seguinte problema?

[]s, Josimar

PROBLEMA

Apenas com os axiomas e definições abaixo, é possível provar o quarto 
postulado de Euclides?

Quarto postulado: "todos os ângulos retos são iguais entre si".

GEOMETRIA NO PLANO

I) AXIOMAS DE INCIDÊNCIA

Termos primitivos: PONTO, RETA e INCIDENTE.

Consideremos os termos "passar por", "jazer em" e suas variantes como 
sinônimos de incidentes.

AX(inc) 1 - Para todo ponto P e todo ponto Q distinto de P, existe uma 
única reta l incidente em P e Q.

AX(inc) 2 - Para toda reta l existem pelo menos dois pontos distintos 
incidentes em l.

AX(inc) 3 - Existem pelo menos três pontos distintos com a

propriedade que nenhuma reta é incidente em todos eles.

Definições

Def(inc) 1 - Dois ou mais pontos são COLINEARES quando incidem na mesma reta.

Def(inc) 2 - Duas retas são CONCORRENTES quando possuem um ponto comum, ou 
seja, quando incidem em um ponto.

Def(inc) 3 - Duas retas são PARALELAS quando não incidem em nenhum ponto 
comum, ou seja, quando não são concorrentes.

II) AXIOMAS DE ENTREMEIO (BETWEENESS)

Termo primitivo: "ESTAR ENTRE".

AX(entre) 1 - Se o ponto B está entre os pontos A e C então A, B e C são 
três pontos distintos incidentes na mesma linha reta e também B está entre 
C e A.

Introduzindo a notação A*B*C para denotar que B está entre A e C (ou, 
equivalentemente, B está entre C e A), podemos reescrever o axioma acima como:

"Se A*B*C então A, B e C são distintos e A,B,C pertencem a l e C*B*A."

AX(entre) 2 - Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E 
incidindo na reta l que passa por B e D e tal que A*B*D, B*C*D, B*D*E.

AX(entre) 3 - Se A, B e C são três pontos distintos incidentes em uma reta, 
então ocorre um e somente um dos casos:

i) A*B*C                ii) A*C*B                iii) B*A*C

Definição

Def(entre) 1 - Dizemos que dois pontos A e B estão do mesmo lado da reta l 
se o segmento [AB] não interceptar l. Caso contrário, dizemos que A e B 
estão em lados opostos de l.

AX(entre) 4 - Para toda reta l e três pontos A, B e C quaisquer não 
incidentes em l, teremos:

i. Se A e B estão do mesmo lado de l e B e C estão do mesmo lado de l, 
então A e C estão do mesmo lado de l.

ii. Se A e B estão em lados opostos de l e B e C estão em lados opostos de 
l, então A e C estão do mesmo lado de l.

Definições

Def(entre) 2 - O segmento [AB] é definido por:

[AB] = {A,B} união {X / A*X*B}

Def(entre) 3 - A semi-reta [AB[ é definida por:

[AB[ =  [AB]  união {X / A*B*X}
AXIOMAS DE CONGRUÊNCIA

Termo Primitivo: CONGRUÊNCIA.

AX(cgr) 1 - Se A e B são pontos distintos e A é um ponto qualquer, então 
para cada semi-reta r partindo de A , existe um único ponto B incidente em 
r tal que B' seja diferente de A e [AB] == [A'B'], (== significa 
"congruente a").

AX(cgr) 2 - Se [AB]==[CD] e [AB]==[EF], então [CD]==[EF]. Além disso, todo 
segmento é congruente a si próprio.

AX(cgr) 3 - Se A*B*C, A *B *C ,[AB]==[A'B'], [BC]==[B'C'] então [AC]==[A'C'].

Definição

Def(cgr) 1 - Um ângulo de vértice A é definido como um ponto A junto com 
duas semi-retas [AB[ e [AC[; convencionaremos que se B*A*C então ^BAC não é 
um ângulo, mas sim, semi-retas opostas.

AX(cgr) 4 - Dado um ângulo ^BAC e dada qualquer semi-reta [A'B'[ partindo 
de A , então há uma única semi-reta [A'C'[ em um dado lado da reta ]AB[ tal 
que ^B A'C ==^BAC.

AX(cgr) 5 - Se ^A==^C e ^A==^D então ^C==^D. Além disso, todo ângulo é 
congruente a si próprio.

AX(cgr) 6 - (SAS) Triângulos com dois lados congruentes um a um e cujos 
ângulos compreendidos entre os lados congruentes são congruentes, são 
triângulos congruentes.

[]s, Josimar

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