[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda

[bmat@xxxxxxxxxxxxxx]

Essa questão caiu na minha prova de álgebra de 2000, quando eu estava na
primeira série do ensino médio, e eu bolei uma solução para ela que era
um pouco mais rápida (fazia menos contas):

Quando parar de riscar vai ter dado três voltas ( pois 15r + 1 = 1000v +
1 <=> 200v = 3r, e assim que for igual tem que parar )

Desta equação acima, vemos que foram 3 voltas ('v') e 200 riscados ('r')
pois 15r + 1 é o (r+1)-ésimo termo da PA, logo não pode.

Em tempo: uma outra solução vê que tem que ser exatamente (4/5)*1000 porque
1000 e 15 têm mdc 5, e, como quando repetir acaba,  só vai riscar 1/5 dos
números. É um argumento probabilístico (e que só é válido porquê mdc(1000,
15) é 5. Acho que dá pra generalizar o problema, sendo a resposta:

a*(x-1)/x

onde a = número inicial de inteiros escritos, x = mdc(a, b) onde b é o número
de inteiros que você conta até riscar o outro.

Não tenho certeza da generalização, mas acho que com um pouco de álgebra
dá pra provar.

Até mais,
Bernardo
-- Mensagem original --

>
>bom, vou tentar:
>
>seja {an} a sequência dos números riscados na primeira volta:
>então {an} é uma PA com a1=1, r=15
>vamos analisar para qual n an>1000 :
>sei que an=a1+(n-1)*r=>
>a1+(n-1)*r>1000 => n>1+(1000-a1)/r=1+999/15=67,6
>
>a67=a1+66*r=1+66*15=991
>
>o a68 seria igual a 991+15=1006
>
>como os números de 1 a 1000 estão dispostos em um círculo, temos uma nova
>PA {bn} onde o primeiro termo é b1=6 e bj=aj+5
>
>b67=a67+5=996
>b68=996+15=1011
>
>assim temos uma nova PA {cn} onde c1=11 e cj=bj+5
>
>c66=b66+5=996-15+5=986
>c67=986+15=1001
>
>opa, o 1 já foi riscado então paramos aqui!
>
>já riscamos as PA's de razão 15 que começam no 1,6,11
>
>já calculei que a PA que começa no 6 tem o seu termo de numero 67 igual
>a 996 então a PA que começa no 10 tem o termo de numero 67 igual a 1000.
>
>Assim posso concluir que as PA's que começam do 1 até o 10 possuem 67 termos
>e as PA's que começam do 11 até o 15 possuem 66 termos.
>
>Como já risquei as PA's que começam no 1 e no 6, risquei 67*2=134 numeros,
>e a PA que começa no 11 já foi riscada também que são mais 66 numeros,
portanto
>já foi riscado 134+66=200 números
>
>Como havia 1000 números inicialmente então ainda há 800 números que não
>foram riscados !!
>
>- Mensagem original --
>
>>Os inteiros de 1 a 1000 são escritos ordenadamente em torno de um círculo.
>>
>>Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos 1,16,31,
>>... 
>>. O processo continua até se atingir um número previamente riscado. Determine
>>
>>a quantidade de  números que sobram sem riscos.
>>
>
>-- Mensagem original --
>
>>Os inteiros de 1 a 1000 são escritos ordenadamente em torno de um círculo.
>>
>>Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos 1,16,31,
>>... 
>>. O processo continua até se atingir um número previamente riscado. Determine
>>
>>a quantidade de  números que sobram sem riscos.
>>
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