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RE: [obm-l] divergente

Oi, Paulo e galera.
 
Eu gosto de pensar de um jeito que fisicamente nao funciona bem... mas me
dah a ideia correta. Primeiro voce tem que entender bem o que eh o FLUXO de
um campo vetorial.

FLUXO: digamos que E eh um campo vetorial (pode ser no plano ou no espaco,
no que se segue, penso no espaco). Pense em E como um campo de velocidades
de agua (ou seja, a agua flui e, no ponto (x,y,z) a velocidade da agua eh o
vetor E(x,y,z)). Suponha que E eh um campo estacionario, isto eh, E pode
mudar de ponto para ponto, mas E NAO MUDA com o tempo, ok? Assim eu nao
preciso botar "t" em lugar algum...

Bom, pegue um ponto P(x0,y0,z0), coloque um cubinho imaginario (com
superficie feita de Perfex(TM)) em torno dele; voce sempre pode medir o
volume de agua que sai atraves do Perfex(TM) por segundo -- isto eh o FLUXO
de E atraves da superficie do cubinho (positivo se sai mais agua do que
entra, negativo caso contrario) --  a unidade disso eh algo como "fluxo =
tantos litros / segundo, que saem do cubinho".

(Em geral, fluxo pode ser definido para qualquer superficie, nao soh
cubinhos....)

--//--
DIVERGENTE: Se voce fizer o cubinho cada vez menor, o fluxo de agua que sai
do cubinho *tipicamente* vai para zero -- o cubinho eh pequeno demais, nao
hah "Perfex(TM) suficiente" atraves do qual possa sair agua. Alias,
*tipicamente*, se "a" eh o tamanho da aresta do cubinho, o fluxo atraves
dele eh parecido com ma^3 para algum numero m que depende de como eh o campo
vetorial E em volta do ponto P. Em outras palavras, tipicamente tem-se:

lim (a->0) FLUXO/a^3 = m(x0,y0,z0)

Esse "m" eh o chamado DIVERGENTE do campo E no ponto (x0,y0,z0). Em geral,
quando esse limite existe, voce nao PRECISAVA usar cubos; voce pode pegar
outros solidozinhos (S) em volta de P e fazer:

lim (V->0) (FLUXO atraves da superficie de S) / Volume de S

e este limite tambem dah o tal DIVERGENTE de E em P.

[[Alias, isso tudo nada mais eh do que uma DENSIDADE DE FLUXO... Se voce
quisesse densidade de massa, voce faria tudo do mesmo jeito, exceto que
lim (V->0) (MASSA dentro de S)/(Volume de S) = DENSIDADE DE MASSA
Troque massa por fluxo e veja a analogia...]]

SIGNIFICADO DO DIVERGENTE: Essa eh a definicao geometrica do divergente. O
que significa? Bom, no caso de agua, se div E (x0,y0,z0) > 0 entao tem
volumes de agua "saindo do ponto P(x0,y0,z0)". Se tem agua "saindo" do ponto
P, eh como se P fosse uma "fonte" de agua, e o tamanho do divergente dah uma
ideia de quanta agua eh produzida em P por unidade de tempo. Se div E (P) <
0, P eh um "ralo" -- a agua entra no cubinho em volta de P e some ali
dentro!

Neste momento eh que voce percebe que a minha maneira de pensar nao eh muito
fisica... afinal, do jeito que eu falei, tem um anjo criando agua em alguns
lugares e tirando agua de outros -- como eh que a agua "aparece" no ponto
P?!? Mas eh assim que eu penso no divergente de E, como uma medida de agua
(cuja velocidade eh E) criada/destruida por anjos.

Sem anjos, no caso de um fluido incompressivel (a agua praticamente satisfaz
essa condicao em varias situacoes), o seu campo de velocidades E tem de ter
divergente NULO -- volumes de agua nao podem "aparecer" ou "desparecer".

Compare a situacao da agua com um outro gas qualquer: se E for o campo de
velocidades de um gas (que eh um fluido compressivel), div E em P > 0 quer
dizer que "hah volumes de gas saindo de P". Mas voce nao precisa de um anjo
para tanto, basta que o gas esteja se EXPANDINDO para que voce detecte
volumes de gas sendo "criados"! Lembre-se, MASSA nao pode ser criada do
nada, mas VOLUME pode, desde que voce mude a densidade do fluido em questao.
Neste caso, div E (no ponto P) dah a ideia de "quanto o gas estah se
expandindo no ponto P"; divE>0 quer dizer expansao (quanto maior o numero,
mais forte a expansao), divE=0 quer dizer que o *volume* de gas se mantem
(aa medida que se move, nos pontos onde divE=0), divE<0 indica contracao.

Mais exatamente, se divE= 2 m^3/(segundo.m^3) = 2 /segundo (no sistema MKS)
em todos os pontos de uma certa regiao R do espaco, entao uma porcao de gas
que se mexe ali dentro vai dobrar de volume em 1 segundo (possivelmente
ocupando um OUTRO lugar ali dentro, mas o volume ocupado serah o dobro). Se
o div nao eh constante na regiao R, voce tem de fazer uma especie de media
para saber o volume de fluido que estah sendo criado (ou destruido): faca a
integral de div E na regiao R... Dai vem o teorema da divergencia:

INT (tripla, dentro de R) div E dV =
= Fluxo de E (atraves da fronteira/superficie de R)

(Isto eh, Integral da densidade de fluxo = fluxo total; compare com Integral
da densidade de massa = massa total)

Para eletricidade, note que um campo eletrico tambem pode sim "aparecer" ou
"desaparecer" -- a presenca de CARGA eletrica constitui uma fonte ou um ralo
de campo eletrico (apesar de agora E nao ser um campo de velocidades... mas
pra mim a analogia ainda ajuda). Quanto maior a densidade de carga num
lugar, maior a quantidade de campo eletrico que "sai" daquele lugar -- a
relacao exata eh a que voce escreveu.

FORMULA: Quando eu dou aula de divergente, eu procuro descrever tudo isso
acima com cuidado ANTES de apresentar a formula do divergente. DEPOIS de
entender bem o significado geometrico e fisico do divergente (O QUE EH e
PARA QUE SERVE), a gente ve o calculo dele (que eh o COMO FAZER). Soh entao
eu tento "convencer" os alunos da formula:

div E = dA/dx + dB/dy + dC/dz
(onde E=(A,B,C)=A(x,y,z).i+B(x,y,z).j+C(x,y,z).k)

Esse meu papo todo eh pouco formal, mas pode ser formalizado. Ajudou com a
parte do significado fisico?

Abraco,
     Ralph

-----Original Message-----
From: Paulo Cesar Franco
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: 1/26/02 3:58 AM
Subject: [obm-l] divergente

alguém poderia me explicar qual o significado físico
do divergente de uma função vetorial e como se
demonstra matematicamente que:
             div(E)=d/E    sistema MKS
    obs: d=densidade de carga por unid. de volume.
         E=epsilon zero(constante de permissividade
eletrica no vacuo).
    Agradeço quem puder me ajudar.Paulo.
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