Re: [obm-l] Teorema de Fermat

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jan 23, 2002 at 07:58:54AM -0500, DEOLIVEIRASOU@aol.com wrote:
> Muito obrigado Ralph pelos comentarios sobre o enigma( ex) de Fermat. 
> No livro simon Singh chamava o enigma de santo graal da matemática, 
> classificando-o como o mais dificil de todos os tempos. Se o parâmetro for os 
> gênios que o tentaram resolver eu concordo, mas se fosse o tempo nâo. Lembra 
> dos tres antigos problemas clássicos? . A quadratura do circulo, trissecção 
> do angulo e duplicação do cubo( com régua e compasso), levaram mais de 1600 
> anos , até mostrarem que são problemas insolúveis.Qual o melhor parâmetro pra 
> julgar se este ou aquele problema é o mais dificil de todos os tempos? Existe 
> algo , hoje em dia, em qualquer área, que substitua o ultimo teorema de 
> fermat??

Em termos de antiguidade, os campeões absolutos, vindos desde a antiguidade
e em aberto até hoje, são: o problema da existência de números perfeitos
ímpares e o da infinitude do número de números perfeitos pares.

Lembro que um inteiro positivo n é perfeito se a soma dos divisores
inteiros positivos de n menores do que n for n.
Os menores números perfeitos são

   6 = 2^1 (2^2 - 1) = 1 + 2 + 3
  28 = 2^2 (2^3 - 1) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
 496 = 2^4 (2^5 - 1) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
 
Não é difícil demostrar que n par é perfeito se e somente se n é na forma
n = 2^(p-1) (2^p - 1) onde Mp = 2^p - 1 é primo (um primo de Mersenne).
Ninguém sabe se existe algum número perfeito ímpar e ninguém sabe
demonstrar que existem infinitos primos de Mersenne (donde infinitos
números perfeitos pares).

Este problema apesar de antigo não é considerado muito importante pela
maioria dos matemáticos. O problema em aberto em geral considerado mais
importante (mais importante até do que o último teorema de Fermat) é
a hipótese de Riemann generalizada. Bem, eu devo confessar que não entendo
tão bem assim pq a hipótese de Riemann é tão importante, não sei o
suficiente sobre as aplicações. Em todo caso a versão clássica
da hipótese de Riemann diz que as raízes (complexas)
não triviais da função zeta estão sobre a reta [(parte real de z) = 1/2].

Uma versão elementar é a seguinte. Defina

mu(n) = (-1)^k se n for o produto de k primos distintos;
          0    se n for múltiplo de algum quadrado.

Os primeiros valores de mu são

n          1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
mu(n)      1 -1 -1  0 -1  1 -1  0  0  1 -1  0 -1  1  1  0 -1  0 -1  0

Defina M(n) como sendo a soma de mu(k), k = 1..n

n          1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M(n)       1  0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3

A hipótese de Riemann consiste em afirmar que para todo a > 1/2 temos

                M(n)
    lim       --------  = 0
 n -> infty     n^a


[]s, N.
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