FW: [obm-l] Ajuda com Polinomios

[Ralph Teixeira <RALPH@xxxxxx>]

Eh isso, Luiz? (O E-mail veio com um bando de caracteres estranhos)

>> O polinomio x^3+Px^2 + Q  eh divisivel por x2 + mx - 1

>> Determine a relacao entre P e Q .

Imagino que se quer uma relacao entre P e Q que *nao envolva m*, certo?
Voce pode fazer no braco... Divida os polinomios... voce encontra:

x^3+Px^2+Q=(x^2+mx-1)(x+P-m)+(m^2-Pm+1)x+(P+Q-m)

Entao, como o resto eh 0:
m^2-Pm+1=0
P+Q-m=0

Da segunda, m=P+Q; jogue na primeira:

(P+Q)^2-P(P+Q)+1=0
Q^2+PQ+1=0

Eh essa a relacao que voce quer?

(Note que, se P e Q satisfazem essa relacao, entao x^3+Px^2+Q eh
divisivel por x^2+(P+Q)x-1; assim, essa eh basicamente a unica relacao a
ser encontrada que soh tem P e Q)

---///---

Outro jeito de fazer: se a e b sao as raizes de x^2+mx-1, basicamente ah
unica coisa que sabemos eh que ab=-1.

Agora, a e b sao raizes de x^3+Px^2+Q, certo? Seja c a terceira raiz.
Entao:

abc=-Q
-c=-Q
c=Q

Isto eh, Q eh raiz do polinomio de 3o grau! Isto indica que

Q^3+PQ^2+Q=0

Nao podemos ter c=Q=0 (note que ab+ac+bc=0... entao c(a+b)=1 e c nao eh
zero)... Assim eh valido dividir por Q:

Q^2+PQ+1=0

Legal tambem, mas eh mais chato ver que esta eh a unica relacao
possivel....

--//--

Abraco,
    Ralph
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