Solucao

[Humberto Naves <hnaves@xxxxxxxxx>]

  Oi Pessoal,
  Aqui vai a solucao (sem figuras) do problema. Achei
a solucao do Carlos bem parecida com a minha. Obrigado
pelas solucoes (e ideias de solucoes :-) enviadas!
  Falow
  Humberto Silva Naves

_______________________________________________________________________________________________
Yahoo! GeoCities
Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis!
http://br.geocities.yahoo.com/
Problema:
  Prove que é impossível colocar dentro de um quadrado C de lado um, dois quadrados A e B
(de lados "a" e "b", respectivamente), sem superposição, com a + b > 1.


Solução:
Primeiramente vamos provar um lema.


Dizemos que o quadrado Q é tangente ao quadrado T, se:
 1) Q está dentro de T (ou seja todo ponto de Q é também ponto de T);
 2) Exite ponto P do bordo (em um dos lados) de Q que está em um lado L de T e também exite
um ponto P' do bordo de Q que está em um lado L' de T, tal que L e L' são perpendiculares.
(Obs: Neste caso dizemos que P e P' são pontos de tangência.)


Lema:

  Se é possivel colocar os quadrados A e B dentro de C sem superposição, então é possível 
colocar esses dois quadrados dentro de C (sem superposição) de tal modo que A e B sejam
tangentes à C.



Demontração:

  Adotamos o par de eixos do nosso plano cartesiano sobre dois lados consecutivos de C.
Se A e B já forem tangentes à C, então o problema acabou! Então assumimos que A não é tan-
gente. Sabemos que não existe ponto em comum de A e B, pois não há superposição.
  Vamos agora seguir os passos abaixo:
  1) Movemos o quadrado A para cima até que toque B ou que fique na iminência de sair de C
(neste caso vamos para o passo 3).
  2) Movemos o quadrado A para baixo até que toque B ou que fique na iminência de sair de C
(neste caso vamos para o passo 3).

  (*)É claro que A não pode tocar B tanto no passo 1 (em X) quanto no passo 2 (em Y), pois
então o segmento XY (que está em B, por convexidade) tocaria o quadrado A original (antes
de ser movido). Logo o quadrado A ficara na iminência de sair (na direção vertical). Vide
figura 01.

  Logo após:
  3) Movemos o quadrado A para a esquerda até que toque B ou que fique na iminência de sair
de C.
  4) Movemos o quadrado A para a direita até que toque B ou que fique na iminência de sair
de C.

  Pelo mesmo motivo de (*), A não pode tocar B tanto no passo 3 quanto no 4, logo ficará
na iminência de sair (na direção horizontal) em algum dos passos (3 ou 4). Pronto, logo é
possível mover A de modo que fique tangente!!! Analogamente B pode também ser movido de
modo que fique tangente. Logo o lema é verdadeiro.




Voltando à solução do problema:

Suponha, por absurdo, que seja possível colocar A e B dentro de C sem superposição. Pelo
Lema acima  é possível colocar A e B de modo que A e B sejam tangentes à C. Temos então pelo
menos quatro pontos de tangência. Dividimos em alguns casos:

1 - Os quatro pontos estão sobre os quatro lados de C:


1.1 - Se os pontos de tangência de A estão em dois lados paralelos de C (vide figura 02):
  Por convexidade, existe um ponto P que pertence à A e B simultaneamente, chegando à uma
contradição:


1.2 - Se os pontos de tangência de A estão em dois lados perpendiculares de C (Figura 03):
  Vamos provar que o ponto P = (a, a) está no quadrado A. Basta provar que a distância de P
aos lados do quadrado são menores ou iguais a "a". Ou seja, basta verificar que:
1) |a/(a*sin(alfa))+a/(a*cos(alfa))-1|/sqrt((1/(a*sin(alfa)))^2+(1/(a*cos(alfa)))^2) <= a
2) |a-a*cotg(alfa)-a*sin(alfa)|/sqrt(1+(cotg(alfa))^2) <= a
3) |a-a*cotg(alfa)+a*cotg(alfa)*cos(alfa)|/sqrt(1+(cotg(alfa))^2) <= a
4) |a-a*(sin(alfa)+cos(alfa))+a*tg(alfa)-a*tg(alfa)*sin(alfa)|/sqrt(1+(tg(alfa))^2) <= a
Alfa é o ângulo que o quadrado A faz com C. (0 <= alfa < Pi/2)

Essas desigualdades são verdadeiras! E analogamente, P' = (1-b, 1-b) pertence à B. Como o
centro do quadrado A é Ca = (a*sqrt(1/2)*sin(alfa+Pi/4), a*sqrt(1/2)*sin(alfa+Pi/4)) e o
centro de B é Cb = (1-b*sqrt(1/2)*sin(beta+Pi/4), 1-b*sqrt(1/2)*sin(beta+Pi/4)), onde beta
é o ângulo entre B e C. Logo, como a + b > 1, o segmento PCa intersecta P'Cb, logo os qua-
drados se intersectam, um absurdo!
  
2 - Os quatro pontos estão sobre três dos lados de C: (Figura 04 e Figura 05)
  Basta mover o quadrado A para a direita até tocar o lado direito de C. Se isso não for
possível, mova o quadrado B para a direita até tocar o lado direito de C, isso é perfeita-
mente possível, já que não da para mover o quadrado A. Aí caímos sobre o caso 1.

3 - Os quatro pontos estão sobre dois dos lados de C: (Figura 06)
  Movemos o quadrado mais afastado do vértice correspondente aos dois lados de tangência
até o vértice oposto (Isso é claramente possível). Aí caímos sobre o caso 1.