Re: Questão - Seleção 2001

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Villard e demais
colegas desta lista,

Problema Bonito ! Adoro esse tipo de problema que nao requer como solucao 
uma formula ou numero, mas que apenas deseja que se esclareca um aspecto 
qualitativo.

Eu vou apenas esbocar uma solucao. Voce completa as lacunas e conclui a 
demonstracao. Vejamos.

Bem, vejamos ...

Huuuuummm ... Aaaaaaai ... Huuuuummmm ...


Barriga infeliz ! Deve ter sido a cuia de feijoada com o copo duplo de suco 
de mocoto que tomei ontem a noite, antes de me deitar.


Bom, mas, vamos ao problema.

Sejam N retas, N um numero natural. Podemos sempre considerar dois pontos de 
intersecao, ja que ha AO MENOS DOIS PONTOS DE INTERSECAO. Sejam A e B estes 
pontos :

1 CASO ) A e B sao magros :
Neste caso as coisas terminam aqui, pois podemos dizer que HA, NO MINIMO, 
DOIS PONTOS MAGROS.

2 CASO ) A e magro e B e gordo :
Sejam R1 e R2 as unicas retas que passam por A. COMO "B" e GORDO, AO MENOS 
TRES RETAS PASSAM POR "B" E, DESSAS TRES, AO MENOS DUAS OUTRAS RETAS, 
DIFERENTES DE R1 e R2, PASSARAO POR "B" ... ( Pois R1 ou R2 podem conter B ! 
). Sejam S1 e S2 essas duas novas retas. Sobre todas as hipoteses possiveis 
de se fazer sobre S1 e S2 em relacao a R1 e R2, havera ao menos um novo 
ponto de intersecao, diferente de A e B. Seja C este ponto.
O "truque" esta aqui : mostrar que sempre surgira um novo ponto de 
intersecao e que se supor mos que este novo ponto sempre e GORDO implicara 
numa nova reta e, portanto, absurdamente, um numero infinito de retas. Logo, 
devera haver, ao menos, um novo ponto X que e MAGRO.

Como A e magro e X e magro haverao, ao menos, dois pontos magros

3 CASO )A e B sao gordos :
Das, no minimo, 3  retas que passam por A, tome duas. Como B e gordo, 
recaimos no caso anterior.



Um Grande abraco pra voces !
Paulo Santa Rita
3,1421,150102






>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Questão - Seleção 2001
>Date: Mon, 14 Jan 2002 17:21:12 -0200
>
>Segue um problema de uma lista de seleção pra imo-ibero do ano passado :
>Considere um número finito de retas coplanares. Um ponto magro de 
>intersecção é um ponto onde concorrem exatamente 2 retas. Supondo que 
>existem pelo menos 2 pontos de intersecção, determine o número mínimo de 
>pontos magros de intersecção.
>Não sei o nível de dificuldade..... aguardo respostas..
>Abraços,
>     Villard




_________________________________________________________________
Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: 
http://messenger.msn.com.br