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Re: Teorema de Godel
Dá uma olhada neste endereço e explica-me por favor
que diagonal é essa.È a mesma usada por
Cantor???Ajuda-me a compreender o 1 teorema que esta
neste site.
http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli/teoremas_de_godel.htm
--- Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
escreveu: >
> A idéia é criar uma sentença que diz: "eu não posso
> ser provada", ou seja,
> uma sentença, cujo número de godel é x, que diz que
> não existe demonstração
> para a fórmula cujo número de godel é x.
> Para entender a fórmula que godel criou, é
> necessário o conceito de
> variável livre. A fórmula "x é primo" possui uma
> variável livre x, não
> podemos deizer que ela é verdadeira ou falsa sem
> conhecer o valor de x. Para
> eliminar essa variável livre, tem duas maneiras: uma
> é substituir x por um
> número (p.ex. "7 é primo"), outra é colocar um
> quantificador ("existe x t.q.
> x é primo"). Note que uma fórmula sem variável livre
> (que chamamos
> "sentença") deve ser ou verdadeira ou falsa (i.e,
> sua negação verdadeira) em
> um modelo matemático fixado (que precisa ser
> definido, mas, intuitivamente,
> é uma interpretação para o significado das
> fórmulas). O sistema de axiomas
> ideal deve provar ou a sentença ou sua negação. Pois
> bem, godel cria uma
> sentença que não pode ser provada nem ela nem sua
> negação.
>
> Para obter essa sentença, godel criou a fórmula
> PROVA(x,y,y) que significa:
> "A sequência de fórmulas cujo número é x é uma
> demonstração da fórmula (de
> número y) de uma variável livre, substituindo sua
> variável livre pelo valor
> y". Por exemplo, se 1000 é o número da fórmula "x é
> primo",
> PROVA(12345,1000,1000) diz: "12345 é o número da
> demonstração de "1000 é
> primo".
>
> A fórmula ¬ExPROVA(x,y,y) diz "a fórmula de número
> y, substituindo sua
> variável livre por y, não póde ser provada". No
> nosso exemplo,
> ¬ExPROVA(x,100,1000) diz "não existe demonstração de
> que 1000 é primo". Pois
> bem, ¬ExPROVA(x,y,y) tem uma variável livre y, e tem
> um número (seja g esse
> número). Portanto a fórmula ¬ExPROVA(x,g,g) é uma
> sentença (note que g não é
> uma variável, mas um número conhecido, que eu já
> calculei). E essa sentença
> diz: "A fórmula de número g, substituindo sua
> variável livre por g, não pode
> ser provada". Mas quem é a fórmula de número g? É o
> próprio ¬ExPROVA(x,y,y).
> E substituindo sua variável livre por g? É a propria
> sentença
> ¬ExPROVA(x,g,g). Portanto, ¬ExPROVA(x,g,g) diz
> "¬ExPROVA(x,g,g) não pode
> ser provada", que gera o paradoxo que queríamos (uma
> sentença que diz "eu
> não posso ser provada").
>
> Observe que, se um sistema for consistente, eu de
> fato não consigo provar
> ¬ExPROVA(x,g,g). Mas isso se o sistema for
> consistente (i.e., não provar uma
> fórmula e sua negação). Caso contrário, tudo vira
> teorema, e tudo pode ser
> provado (de uma contradição provamos qualquer
> coisa), inclusive
> ¬ExPROVA(x,g,g). Mas se eu provar a consistência do
> sistema, eu acabei de
> provar que ¬ExPROVA(x,g,g) não pode ser provada. Mas
> isso, como vimos, é o
> próprio ¬ExPROVA(x,g,g), e chegamos numa
> contradição. Concluindo: a segunda
> parte do Teorema de Godel (conhecido como segundo
> teorema de godel) diz que,
> se um sistema for consistente, sua consistência não
> pode ser provada (dentro
> do próprio sistema).
>
> Uma observação importante é que, apesar de dar a
> idéia geral da
> demonstração, a demonstração que está no site está
> longe de ser completa.
> Fica a pergunta: como godel criou (ou provou que
> existe) a fórmula
> PROVA(x,y,y) usando só o fato de que o sistema é
> capaz de exprimir a
> aritmética e de que seus axiomas formam um conjunto
> recursivo (consigo
> decidir, através de um algoritmo finito, se uma
> fórmula é axioma ou não). É
> interessante olhar no trabalho original de godel
> ("On formally undecidable
> propositions of principia mathematica and related
> systens") como ele
> codifica cada axioma, e cada regra de inferência, em
> termos de relações
> aritméticas. Repare que a fórmula indecidível
> ¬ExPROVA(x,g,g), no fundo é
> uma gigantesca fórmula que só envolve números,
> conectivos lógicos, e as
> operações + e *.
>
>
> >From: Carlos Maçaranduba <soh_lamento@yahoo.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br,
> ciencialist@yahoogrupos.com.br
> >Subject: Teorema de Godel
> >Date: Wed, 2 Jan 2002 18:43:16 -0300 (ART)
> >
> >neste endereço há uma demonstração do teorema de
> godel
> >que aparentemente é simples de se entender.Alguem
> >poderia ver a parte que ele usa o predicado
> >PROVA(x,g,g) e explicar-me pq ele faz isso?????
> >
> >
>
>http://www.pr.gov.br/celepar/celepar/batebyte/edicoes/2000/bb95/teorema.htm
> >
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