Re: ITA 2002 - Problema 12 - Divergencia entre os cursinhos!

[Augusto César Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

O Anglo deu-se mal! Consulte www.gpi.g12.br
A solução deles mostra que nenhum dos outros dois ganhou. Se tivessem 
continuado o raciocínio, veriam que o outro também não poderia ter ganho 
e marcariam E, ou seja, que os dados são incompatíveis.
Morgado

niski wrote:

>Ola colegas da lista! Gostaria que os srs escrevessem falassem qual é a
>resposta mais adequada da questao mais comentada do ITA 2002, já que sei
>que todos por aqui gostam e sabem muito de matematica.
>
>O Curso Anglo dá como gabarito a letra A
>Os demais cursinhos (ETAPA, Objetivo, Poliedro, Alferes e COC) dão como
>gabarito a letra E.
>
>Irei transcrever o problema ,a solução do Anglo e a solucao do ETAPA.
>Gostaria de saber da opiniao dos srs. Qual cursinho está correto
>
>ENUNCIADO:
>O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida
>beneficente de bicicletas: Alguns se-gundos
>após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e
>Rubinho, nesta ordem. Daí
>em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em
>nenhum momento da corrida, estiveram
>lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto,
>mudou de mãos nove vezes entre os
>três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam
>na segunda e terceira posições
>trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou
>para nossos repórteres que
>David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da
>bandeirada de chegada. Desse
>modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da
>corrida.
>Com base no trecho acima, você conclui que
>A) David ganhou a corrida.
>B) Ralf ganhou a corrida.
>C) Rubinho chegou em terceiro lugar.
>D) Ralf chegou em segundo lugar.
>E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não
>apresenta uma descrição matema-ticamente
>correta.
>
>RESOLUCOES: ANGLO - LETRA A:
>Para que Ralf ganhe a corrida, é necessário que ele participe de um
>número par de trocas de liderança,
>algumas com David e outras com Rubinho.
>Como o número de trocas de liderança é nove, devemos ter um número ímpar
>de trocas de liderança
>sem a participação de Ralf, ou seja, entre David e Rubinho.
>Sabemos, do enunciado, que Rubinho começa e termina a corrida atrás de
>David. Assim, o número total
>de trocas de posição entre eles é necessariamente par.
>Como é ímpar o número de trocas entre David e Rubinho na liderança, deve
>também ser ímpar o nú-mero
>de trocas entre eles na segunda e terceira posições.
>Sabemos, também do enunciado, que o número de trocas entre o segundo e o
>terceiro colocados é oito e,
>portanto, Ralf deve participar, necessariamente, de um número ímpar
>delas.
>Como Ralf começa a corrida em primeiro lugar, ele deve perder a
>liderança antes de participar de uma
>de suas trocas entre a segunda e a terceira posição. Trocas essas que
>ele inicia como segundo colocado.
>Sendo ímpar o número de trocas entre a segunda e a terceira posição, com
>a participação de Ralf, ao
>final dessas trocas ele estará na terceira posição, não podendo, assim,
>reassumir a liderança.
>Portanto não é possível que Ralf ganhe a corrida, e como o enunciado
>afirma que Rubinho terminou a
>corrida atrás de David, podemos concluir que David ganhou a corrida.
>
>ETAPA - LETRA E:
>Representemos Ralf por 1, David por 2 e Rubinho
>por 3. Em cada momento da corrida, a
>classifica-ção é uma terna ordenada desses três números
>ou está ocorrendo uma inversão (troca de
>posi-ções entre dois ciclistas).
>Como a liderança mudou de mãos 9 vezes, e em
>mais 8 ocasiões aqueles que corriam na segunda
>e terceira posições trocaram de lugar entre si,
>houve no total 17 inversões.
>Temos que, após um número ímpar de inversões,
>podemos obter somente as classificações (2; 1; 3),
>(1; 3; 2) e (3; 2; 1).
>Rubinho chegou logo atrás de David, portanto a
>classificação final é (1; 2; 3) ou (2; 3; 1).
>Nenhu-ma das quais poderia ter sido obtida com um
>nú-mero ímpar de inversões.
>Conseqüentemente, não é possível determinar a
>ordem de chegada, porque o trecho não
>apresen-ta uma descrição matematicamente correta.
>
>POLIEDRO: RESPOSTA E:
>
>Como Rubinho deve terminar a corrida logo atrás de David, podemos ter
>duas
>possibilidades para o resultado da corrida:
>1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (A)
>ou
>1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf (B)
>A primeira possibilidade é a mesma do início da corrida. Para que Ralf
>termine em
>primeiro lugar, ele deve trocar de posição um número par de vezes.
>Para David e Rubinho também terminarem na mesma posição em que estavam,
>devem
>trocar de lugar um número par de vezes. Assim, essa possibilidade não
>pode ocorrer.
>Considere, agora, a segunda possibilidade. Antes de os concorrentes
>chegarem à
>posição final, eles poderiam ter estado nas seguintes configurações:
>1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho (C)
>ou
>1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (D)
>Na opção (C), já realizamos uma troca entre o segundo e terceiro
>lugares, restando 9
>trocas entre 1 o e 2 o e 7 trocas entre 2 o e 3 o . Rubinho começou em
>último lugar e deve
>continuar ali, devendo passar por um número par de trocas. Porém,
>devemos realizar 7
>trocas de 2 o e 3 o lugar, não sendo possível que Rubinho ali permaneça.
>Falta a opção (D). Da posição inicial até a (D), devemos passar pelas
>seguintes
>configurações:
>1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (posição inicial)
>1 troca
>1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho
>1 troca
>1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf
>1 troca
>1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (E)
>Restam, então, 7 trocas entre 1 o e 2 o lugar e 7 trocas entre 2 o e 3 o
>lugares. Porém, (E) é
>igual a (D), e devemos ter um número par de trocas até o final (mesmo
>raciocínio do
>primeiro caso).
>Assim, não há posição final válida com as condições indicadas.
>
>
>Obrigado pessoal!
>--
>"Now I will have less distraction."
>[upon losing the use of his right eye]   
>Leonhard Euler
>
>