Re: ITA 2002 - Problema 12 - Divergencia entre os cursinhos!

[Augusto C�sar Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

O Anglo deu-se mal! Consulte www.gpi.g12.br
A solu��o deles mostra que nenhum dos outros dois ganhou. Se tivessem 
continuado o racioc�nio, veriam que o outro tamb�m n�o poderia ter ganho 
e marcariam E, ou seja, que os dados s�o incompat�veis.
Morgado

niski wrote:

>Ola colegas da lista! Gostaria que os srs escrevessem falassem qual � a
>resposta mais adequada da questao mais comentada do ITA 2002, j� que sei
>que todos por aqui gostam e sabem muito de matematica.
>
>O Curso Anglo d� como gabarito a letra A
>Os demais cursinhos (ETAPA, Objetivo, Poliedro, Alferes e COC) d�o como
>gabarito a letra E.
>
>Irei transcrever o problema ,a solu��o do Anglo e a solucao do ETAPA.
>Gostaria de saber da opiniao dos srs. Qual cursinho est� correto
>
>ENUNCIADO:
>O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida
>beneficente de bicicletas: Alguns se-gundos
>ap�s a largada, Ralf tomou a lideran�a, seguido de perto por David e
>Rubinho, nesta ordem. Da�
>em diante, eles n�o mais deixaram as primeiras tr�s posi��es e, em
>nenhum momento da corrida, estiveram
>lado a lado mais do que dois competidores. A lideran�a, no entanto,
>mudou de m�os nove vezes entre os
>tr�s, enquanto que em mais oito ocasi�es diferentes aqueles que corriam
>na segunda e terceira posi��es
>trocaram de lugar entre si. Ap�s o t�rmino da corrida, Rubinho reclamou
>para nossos rep�rteres que
>David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da
>bandeirada de chegada. Desse
>modo, logo atr�s de David, Rubinho n�o p�de ultrapass�-lo no final da
>corrida.
>Com base no trecho acima, voc� conclui que
>A) David ganhou a corrida.
>B) Ralf ganhou a corrida.
>C) Rubinho chegou em terceiro lugar.
>D) Ralf chegou em segundo lugar.
>E) n�o � poss�vel determinar a ordem de chegada, porque o trecho n�o
>apresenta uma descri��o matema-ticamente
>correta.
>
>RESOLUCOES: ANGLO - LETRA A:
>Para que Ralf ganhe a corrida, � necess�rio que ele participe de um
>n�mero par de trocas de lideran�a,
>algumas com David e outras com Rubinho.
>Como o n�mero de trocas de lideran�a � nove, devemos ter um n�mero �mpar
>de trocas de lideran�a
>sem a participa��o de Ralf, ou seja, entre David e Rubinho.
>Sabemos, do enunciado, que Rubinho come�a e termina a corrida atr�s de
>David. Assim, o n�mero total
>de trocas de posi��o entre eles � necessariamente par.
>Como � �mpar o n�mero de trocas entre David e Rubinho na lideran�a, deve
>tamb�m ser �mpar o n�-mero
>de trocas entre eles na segunda e terceira posi��es.
>Sabemos, tamb�m do enunciado, que o n�mero de trocas entre o segundo e o
>terceiro colocados � oito e,
>portanto, Ralf deve participar, necessariamente, de um n�mero �mpar
>delas.
>Como Ralf come�a a corrida em primeiro lugar, ele deve perder a
>lideran�a antes de participar de uma
>de suas trocas entre a segunda e a terceira posi��o. Trocas essas que
>ele inicia como segundo colocado.
>Sendo �mpar o n�mero de trocas entre a segunda e a terceira posi��o, com
>a participa��o de Ralf, ao
>final dessas trocas ele estar� na terceira posi��o, n�o podendo, assim,
>reassumir a lideran�a.
>Portanto n�o � poss�vel que Ralf ganhe a corrida, e como o enunciado
>afirma que Rubinho terminou a
>corrida atr�s de David, podemos concluir que David ganhou a corrida.
>
>ETAPA - LETRA E:
>Representemos Ralf por 1, David por 2 e Rubinho
>por 3. Em cada momento da corrida, a
>classifica-��o � uma terna ordenada desses tr�s n�meros
>ou est� ocorrendo uma invers�o (troca de
>posi-��es entre dois ciclistas).
>Como a lideran�a mudou de m�os 9 vezes, e em
>mais 8 ocasi�es aqueles que corriam na segunda
>e terceira posi��es trocaram de lugar entre si,
>houve no total 17 invers�es.
>Temos que, ap�s um n�mero �mpar de invers�es,
>podemos obter somente as classifica��es (2; 1; 3),
>(1; 3; 2) e (3; 2; 1).
>Rubinho chegou logo atr�s de David, portanto a
>classifica��o final � (1; 2; 3) ou (2; 3; 1).
>Nenhu-ma das quais poderia ter sido obtida com um
>n�-mero �mpar de invers�es.
>Conseq�entemente, n�o � poss�vel determinar a
>ordem de chegada, porque o trecho n�o
>apresen-ta uma descri��o matematicamente correta.
>
>POLIEDRO: RESPOSTA E:
>
>Como Rubinho deve terminar a corrida logo atr�s de David, podemos ter
>duas
>possibilidades para o resultado da corrida:
>1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (A)
>ou
>1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf (B)
>A primeira possibilidade � a mesma do in�cio da corrida. Para que Ralf
>termine em
>primeiro lugar, ele deve trocar de posi��o um n�mero par de vezes.
>Para David e Rubinho tamb�m terminarem na mesma posi��o em que estavam,
>devem
>trocar de lugar um n�mero par de vezes. Assim, essa possibilidade n�o
>pode ocorrer.
>Considere, agora, a segunda possibilidade. Antes de os concorrentes
>chegarem �
>posi��o final, eles poderiam ter estado nas seguintes configura��es:
>1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho (C)
>ou
>1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (D)
>Na op��o (C), j� realizamos uma troca entre o segundo e terceiro
>lugares, restando 9
>trocas entre 1 o e 2 o e 7 trocas entre 2 o e 3 o . Rubinho come�ou em
>�ltimo lugar e deve
>continuar ali, devendo passar por um n�mero par de trocas. Por�m,
>devemos realizar 7
>trocas de 2 o e 3 o lugar, n�o sendo poss�vel que Rubinho ali permane�a.
>Falta a op��o (D). Da posi��o inicial at� a (D), devemos passar pelas
>seguintes
>configura��es:
>1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (posi��o inicial)
>1 troca
>1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho
>1 troca
>1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf
>1 troca
>1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (E)
>Restam, ent�o, 7 trocas entre 1 o e 2 o lugar e 7 trocas entre 2 o e 3 o
>lugares. Por�m, (E) �
>igual a (D), e devemos ter um n�mero par de trocas at� o final (mesmo
>racioc�nio do
>primeiro caso).
>Assim, n�o h� posi��o final v�lida com as condi��es indicadas.
>
>
>Obrigado pessoal!
>--
>"Now I will have less distraction."
>[upon losing the use of his right eye]   
>Leonhard Euler
>
>