Re: ajuda (função convexa)

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Pegue a função f(x)=y=x^2. f(x) é estritamente
convexa pois f(x)'' = 2 > 0. E toda reta tangente
de f(x) é um suporte para a função pois f(x)
fica sempre acima da tangente. Em particular,
veja isso no ponto (0,0) e na reta y=0.

Isto acontece para toda função estritamente convexa (ec).

Como f(x)=e^x é ec pois f(x)''=e^x >0, então f(x) ficará
acima de qualquer tangente, sendo igual naturalmente
no ponto de tangência. Como f(x)'=e^x, um bom candidato
para o ponto de tangência é o ponto (0,1). Assim obtemos
f(x)=e^x > 1+x, sendo igual no ponto x=0.

Que desigualdade podemos imaginar para f(x)=\sqrt{x} ?
f(x) é convexa?

Nada como uma figura para fixar as idéias.

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: Arnaldo <arnoldrjbr@ieg.com.br>
Para: <Lltmdrtm@aol.com>; <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 16:09
Assunto: Re: ajuda


>
> >Como se demonstra a desigualdade  e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
> >
> >Uma maneira é ver que a reta y = 1 + x é a reta tangente ao gráfico de y
=
> e^x no ponto (0,1). De fato, tendo que y' = e^x (derivada de y = e^x )
representa
> o coeficiente angular da reta tangente no ponto (x,y), para o ponto (0,1)
temos
> y'=1 e portanto a reta tangente que passa por (0,1) é dada por x = y -1 =>
y
> = 1 + x. Isto já conclui a demonstração, mas para ser mais preciso pode-se
provar
> que todos os pontos diferentes de (0,1) são externos a y = e^x, para isto
basta
> usar contradição, supondo que exista um ponto de y = 1 + x numa região
onde
> y >= e^x.
>
> Uma abraço e espero que isto tenha ajudado.
>
>
> http://www.ieg.com.br
>