Re: limites

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de
> calcular o limite de sen(x)/x, qd x ->0. Acho que basta usar a série para
> sen(x) :
> sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - .... )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! -.... que
> para x ->0, vai pra 1.
> Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas
não
> deixa de "não usar l`hôspital".

Periga eu dizer besteiras.
Eu acho que em grande parte dos livros, voce nao precisa de derivadas para
definir series de potencias. Voce so precisa da definicao de limite e
esclarecer o que significa a soma infinita.
Um jeito eh:
(a_1 + a_2 + a_3 + ... ) = lim(n->infinito) (a_1 + a_2 + ... + a_n)

Para definir uma soma infinita de funcoes (como eh o caso do sen(x)) voce
poe para cada x a soma infinita das funcoes naquele ponto x, e interessa a
ordem das funcoes.

Acho que o Jose Paulo quis dizer que para calcular lim(x->0) (sen(x)/x)
utilizando a regra de L´Hopital, voce precisa saber calcular a derivada de
sen(x) no ponto x=0. Por definicao:

sen ' (0) = lim(h->0) (sen(0+h) - sen(h))/h) = lim(h->0) (sen(h)/h)

Ou seja, voce ja precisa saber calcular o limite lim(x->0) (sen(x)/x) para
calcula-lo pela regra de L'Hopital.

Para saber que a derivada de sen(x) eh cos(x) voce precisa saber que a
derivada de sen(x) no ponto x=0 é igual a cos(0)=1, o que, por definicao,
quer dizer que lim(h->0) (sen(h)/h) = 1. Ou seja, se voce usa a definicao
usual de derivada nao eh possivel saber que a derivada de sen(x) eh cos(x)
sem saber que  lim(x->0) (sen(x)/x). Entao a pergunta do Jose Paulo foi so
retorica.


>
> Eu concordo em parte com isso de só usar o que sabemos provar. Mas também
> não podemos levar isto tanto a sério né... pois assim eu não poderia usar
> relógio :)) brincadeira !
> Mas vale a pena saber como demonstrar esse teoremas sim...
> A regra de l`hôspital é que se f e g são funções tais que o limite
f(x)/g(x)
> ( com x tendendo a "a" ) é indeterminado do tipo 0/0, então este limite é
> igual ao limite de f`(x)/g`(x), com x ->a .

So um detalhe.
Se o lim f(x)/g(x) eh indeterminado (nao existir), voce nao pode usar a
regra de L´Hopital.
Se o lim f(x)/g(x) for determinado (existir) e lim f(x) = 0 e lim g(x) = 0,
aí vale a igualdade lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) pelo motivo que voce
deu.

Eduardo.

> Bem, com as hipóteses, temos que f(a) = g(a) = 0. Logo, lim[f(x)/g(x)] =
> lim[f(x) - f(a)/g(x)-g(a)] = lim[(f(x) - f(a))/(x-a)] / lim
> [(g(x)-g(a))/(x-a)] = lim f`(x)/g`(x).
>
> É claro que f e g devem ser deriváveis e também é claro que podemos
dividir
> por x-a no limite, pois o limite é tomado numa vizinhaça furada de a, logo
> x-a é diferente de zero.
> JP, você está certo nisso sim... tenho quase certeza de que mais de 90%
das
> pessoas que cursam cálculo 1 não tentaram demonstrar ou viram a
demonstração
> da regra acima... isso não deveria ser assim... mas...
>
>
> Abraços,
>      Villard
>
> -----Mensagem original-----
> De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 23:33
> Assunto: Re: limites
>
>
> >cotg ^(1/log)  eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x).
> >Quando x->0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos
> >a -infinito.
> >vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh
> >(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x -> 1.
> >Logo o limite eh: 1/e
> >(se nao houver erro de conta)
> >
> >Quanto ao segundo, uma variante, para variar:
> >a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1.
> >Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h-> 0.
> >Substituindo h por 2x (por que vale?):
> >e^(2x)-1 / 2x tende a 1.
> >Logo e^(2x)-1 / x tende a 2.
> >
> >[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos:
> >1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao de
> >derivada. exemplo:
> >sen x / x  quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas
como
> >voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x
> tende
> >a 1? alguem conhece um jeito?
> >2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que
algum
> >dia demonstrei.
> >Ih, ja sei que vai dar polemica...]
> >
> >JP
> >
> >
> >
> >----- Original Message -----
> >From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves <iver@infonet.com.br>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM
> >Subject: Re: limites
> >
> >
> >confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana
> >e quanto à primeira vcs encontraram algo?
> >
> >----- Original Message -----
> >From: "Vinicius José Fortuna" <ra992559@ic.unicamp.br>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PM
> >Subject: Re: limites
> >
> >
> >On Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
> >
> >> qual o limite das seguintes funções?
> >>
> >> lim (cotgx)^(1/lnx)
> >> x-> 0
> >>
> >>
> >> lim (e^2x -1)/x
> >> x->0
> >
> >Essa eu acho que sei:
> >
> >lim{x->0} (e^2x - 1)/x =
> >lim{x->0} (e^2x)/x - 1/x =
> >lim{x->0} (e^2x)/x
> >Por L'Hopital (é assim que se escreve?)
> >= lim{x->0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) =
> >= 2
> >
> >Confere?
> >
> >Até mais
> >
> >Vinciius
> >
> >
> >
> >
> >
> >
>
>