Re: arc[sen(2)] = (a+bi) pq?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Dec 04, 2001 at 11:43:39PM -0200, niski wrote:
> Ol� caros participantes, sou um mero vestibulando, porem me interesso
> muito pela matematica que um dia ainda vou aprender por isso participo
> desse news....bem vamos ao assunto
> Vi na minha HP, que quando coloco arc[sen(x)] , sendo x > 1, ele retorna
> um complexo! alguem poderia me dar pelo menos uma pincelada pq isso
> acontece? uma coisa mais estranha ainda...
> por exemplo..normalmente
> arc[sen(0,5)] = 30
> sen(30) = 0,5
> nada mais natural n�o?
> mas , sendo x > 1 tenho na minha HP:
> arc[sen(x)] = a+bi
> e 
> sen(a+bi) = c+di , e nem o c � igual a x....
> Que bizarrice!!!!
> Alguem que manje disso, por favor, d� uma pequena explicacao a respeito!

As fun��es que voc� conhece (como exp, sen, cos, ...) t�m gereraliza��es
para n�meros complexos. A mais simples delas � exp(x) = e^x.
As propriedades mais fundamentais dela s�o

exp(0) = 1, exp(x+y) = exp(x) exp(y)

e, se voc� conhecer um pouco de c�lculo,

exp'(x) = exp(x)

ou seja

lim_{h -> 0} (exp(x+h) - exp(x))/h = exp(x)

mas, usando as propriedades acima

lim_{h -> 0} (exp(x+h) - exp(x))/h = 
lim_{h -> 0} (exp(x) exp(h) - exp(x))/h =
exp(x) lim_{h -> 0} (exp(h) - 1)/h

Ou seja, esta �ltima propriedade pode ser escrita como

lim_{h -> 0} (exp(h) - 1)/h = 1

Estas propriedades ditam que exp(a+bi) deve ser definido como

exp(a+bi) = exp(a) (cos(b) + i sen(b))

De fato, � bem f�cil verificar que a fun��o exp, agora de C -> C,
definida pelo lado direito satisfaz todas as propriedades acima.
Mais, qualquer fun��o f: C -> C satisfazendo

f(0) = 1,
f(x+y) = f(x) f(y),
lim_{h -> 0} (f(h) - 1)/h = 1

deve ser igual � fun��o exp que acabamos de definir.

Mas voltando �s fun��es trigonom�tricas, podemos observar que

cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2
sen(x) = (exp(ix) - exp(-ix))/2i

Podemos tomar estas f�rmulas como _defini��es_ de sen e cos de C -> C.
De acordo com estas defini��es

cos(ix) = (exp(x) + exp(-x))/2
sen(ix) = i (exp(x) - exp(-x))/2

As fun��es acima s�o t�o �teis que t�m seus pr�prios nomes,
s�o chamadas de cos e sen hiperb�lico.

cosh(x) = cos(ix)   = (exp(x) + exp(-x))/2
senh(x) = sen(ix)/i = (exp(x) - exp(-x))/2

Como voc� pode ver por estas f�rmulas, um imagin�rio puro z = ib
tem cos(z) > 1 e um complexo z = (Pi/2) + ib satisfaz sen(z) > 1.

[]s, N.