Re: arc[sen(2)] = (a+bi) pq?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Dec 04, 2001 at 11:43:39PM -0200, niski wrote:
> Olá caros participantes, sou um mero vestibulando, porem me interesso
> muito pela matematica que um dia ainda vou aprender por isso participo
> desse news....bem vamos ao assunto
> Vi na minha HP, que quando coloco arc[sen(x)] , sendo x > 1, ele retorna
> um complexo! alguem poderia me dar pelo menos uma pincelada pq isso
> acontece? uma coisa mais estranha ainda...
> por exemplo..normalmente
> arc[sen(0,5)] = 30
> sen(30) = 0,5
> nada mais natural não?
> mas , sendo x > 1 tenho na minha HP:
> arc[sen(x)] = a+bi
> e 
> sen(a+bi) = c+di , e nem o c é igual a x....
> Que bizarrice!!!!
> Alguem que manje disso, por favor, dê uma pequena explicacao a respeito!

As funções que você conhece (como exp, sen, cos, ...) têm gereralizações
para números complexos. A mais simples delas é exp(x) = e^x.
As propriedades mais fundamentais dela são

exp(0) = 1, exp(x+y) = exp(x) exp(y)

e, se você conhecer um pouco de cálculo,

exp'(x) = exp(x)

ou seja

lim_{h -> 0} (exp(x+h) - exp(x))/h = exp(x)

mas, usando as propriedades acima

lim_{h -> 0} (exp(x+h) - exp(x))/h = 
lim_{h -> 0} (exp(x) exp(h) - exp(x))/h =
exp(x) lim_{h -> 0} (exp(h) - 1)/h

Ou seja, esta última propriedade pode ser escrita como

lim_{h -> 0} (exp(h) - 1)/h = 1

Estas propriedades ditam que exp(a+bi) deve ser definido como

exp(a+bi) = exp(a) (cos(b) + i sen(b))

De fato, é bem fácil verificar que a função exp, agora de C -> C,
definida pelo lado direito satisfaz todas as propriedades acima.
Mais, qualquer função f: C -> C satisfazendo

f(0) = 1,
f(x+y) = f(x) f(y),
lim_{h -> 0} (f(h) - 1)/h = 1

deve ser igual à função exp que acabamos de definir.

Mas voltando às funções trigonométricas, podemos observar que

cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2
sen(x) = (exp(ix) - exp(-ix))/2i

Podemos tomar estas fórmulas como _definições_ de sen e cos de C -> C.
De acordo com estas definições

cos(ix) = (exp(x) + exp(-x))/2
sen(ix) = i (exp(x) - exp(-x))/2

As funções acima são tão úteis que têm seus próprios nomes,
são chamadas de cos e sen hiperbólico.

cosh(x) = cos(ix)   = (exp(x) + exp(-x))/2
senh(x) = sen(ix)/i = (exp(x) - exp(-x))/2

Como você pode ver por estas fórmulas, um imaginário puro z = ib
tem cos(z) > 1 e um complexo z = (Pi/2) + ib satisfaz sen(z) > 1.

[]s, N.