Re: ajuda (ERRATA)

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

Resposta do problema 3:

<(XYZ) representa o angulo entre os segmentos de reta XY e YZ.

Seja AQB um triângulo com AQ = 6, BQ = 10, AB = k, com Q exterior a ABC.

Ora, AQB é semelhante a APC (na verdade, sao até congruentes), donde:

  <(BAQ) = <(CAP)     (I)

Como o triângulo ABC é equilátero:

 <(CAB) = 60 graus = <(CAP) + <(PAB)    (II)

De I e II vem:

60 graus = <(CAP) + <(PAB) = <(BAQ) + <(PAB) = <(PAQ)   (III)

Do triângulo APQ vem;

<(AQP) + <(QPA) + <(PAQ) = 180 graus     (IV)

Mas AQ = AP, logo:

<(AQP) = <(QPA) = x    (V)

De III, IV e V, vem:

x + x + 60 = 180  -->  2x = 120  --> x = 60 graus, donde:

O triângulo AQP é equilátero de lado 6  --> AQ = AP = PQ = 6

Como PQ = 6, BP = 8 e BQ = 10, aplicamos a lei dos cossenos em <(BPQ):

10^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(<(BPQ))

2*6*8*cos(<(BPQ)) = 0  -->  cos(<(BPQ)) = 0     (VI)

Como <(BPQ) está entre 0 e 180 graus (exclusos), de VI podemos concluir que:

<(BPQ) = 90 graus

<(BPA) = <(BPQ) + <(APQ) = 90 + 60 = 150 graus

Aplicando a lei dos cossenos em <(BPA), vem:

k^2 = 6^2 + 8^2 - 2*6*8*cos(150)

k^2 = 36 + 64 - 96 * (-sqrt3)/2 = 100 + 48sqrt3

k = sqrt(100 + 48sqrt3)  ~=  13,53286514

Espero ter ajudado,

[ ]'s

Alexandre Terezan








-----Mensagem Original-----
De: "Vinicius José Fortuna" <ra992559@ic.unicamp.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Terça-feira, 4 de Dezembro de 2001 13:02 Terezan
Assunto: Re: ajuda (ERRATA)


On Mon, 3 Dec 2001, Vinicius José Fortuna wrote:

Ops!, Cometi alguns equívocos:

> > 2) Qual o 496o termo da sequencia 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5, ...?
>
>  Nessa sequência, o último número n aparece na posição n(n+1)/2, que é o
> somatório de 1 a n. Então para descobrirmos o 496o. termo, devemos
> resolver a inequação:
>   x(x+1)/2 >= 496, x>0
>
> Isso dá
>   x >=  31,5
>
> Portanto o 496o. termo da sequência é 32

Errei as contas. É x>=31. Então o 496o. termo é 31.


> > 3) No interior do triângulo ABC, equilátero, existe um ponto P tal que
> > AP = 6, BP = 8 e CP= 10. Determine o perímetro do triângulo ABC.
>
> Se eu não me engano, existe um teorema que diz que a soma das distâncias
> de qquer ponto interior de um triângulo equilátero é constante e igual a
> 2 x tamamnho do lado. Alguém pode confirmar isso pra mim?

Na verdade o teorema que eu estava pensando diz que a soma distâncias de
qquer ponto interior a todos os lados é constante e igual à altura.
Mas aí não dá para resolver de forma tão direta. :-(

Até mais

Vinciius