Re: Alguém poderia me responder desta vez, por favor....

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Dec 03, 2001 at 09:57:17PM -0500, AlanisLeitao@aol.com wrote:
> Eu já pesquisei essas duas dúvidas em vários livros e ainda não encontrei a 
> resposta, se alguém souber , por favor, me ajude:
> 1)Em problemas de Geometria Analítica envolvendo duas ou mais circunferências 
> , quando queremos saber se elas se interceptam uma das soluções é fazer a 
> subtração das equações das duas curvas, esse resultado é o eixo radical. 
> Substitui-se então a equação do eixo radical em uma das equações das 
> circunferências e as raízes são os pontos de intersecção(quando eles 
> existem). Tentei generalizar esse resultado para outras cônicas que não 
> possuiam termo retângulo ('xy') e nunca deu certo , por quê? Qual o meu erro?

Acho que a pergunta é pq haveria de funcionar...

Mas sério, para dizer algo um pouco mais interessante,
as eqs de círculos têm a forma x^2 + y^2 + (termos de grau 1 ou 0) = 0.
Ao subtrairmos duas eqs de círculos P_1(x,y) = 0 e P_2(x,y) = 0
os termos de grau 2 cancelam precisamente e obtemos uma equação de grau 1:
R(x,y) = (P_1 - P_2)(x,y) = 0, uma reta, que passa obrigatoriamente
por qq ponto de interseção dos círculos de equações P_1 e P_2.

Se tomarmos, digamos, duas elipses, as equações delas são da forma
Q_1(x,y) = a_1 x^2 + 2 b_1 xy + c_1 y^2 + (termos de grau 1 ou 0) = 0,
Q_2(x,y) = a_2 x^2 + 2 b_2 xy + c_2 y^2 + (termos de grau 1 ou 0) = 0.
Ao subtrairmos uma da outra teremos uma equação ainda de grau 2,
uma equação de uma cônica que passa pelos ptos de interseção das elipses.
Esta curva não *poderia* ser uma reta se as elipses se cortarem em 4 pontos
(por exemplo, as elipses x^2 + 2y^2 = 3 e 2x^2 + y^2 = 3
se cortam nos 4 pontos (+-1,+-1) e não existe reta que passe por estes 4 ptos).

Mas se as elipses se cortarem em apenas dois pontos existe uma reta passando
por estes dois pontos; pq não podemos obter a eq da reta fazendo
uma combinação linear das eqs das duas elipses?

A resposta é que se complexificarmos, projetivizarmos e contarmos interseções
com multiplicidades, duas cônicas sempre terão por interseção 4 pontos.
Só em casos muito especiais existe uma reta passando pelos 4 pontos;
o mais simples que temos passando pelos 4 ptos são pares de retas.
No caso em que as partes de grau 2 das eqs das duas cônicas são iguais
(como com dois círculos) dois destes pontos estão n infinito e nosso par
de retas pode consistir em uma reta finita (que realmente nos interessa)
e a reta no infinito.

[]s, N.