Funções... (Iezzi)

["Davidson Estanislau" <davidson@xxxxxxxxxxxx>]

 

    Caros amigos, encontrei a seguinte função:

 

         f(n) = 6(2^(n - 1) - 0.5)

 

    Por indução temos:

 

    Para n=0:

 

       f(0) = 6(2^(0-1) - 0.5) = 0

 

    Supondo que a expressão, f(n) = 6(2^(n-1)-0.5), seja verdadeira.

 

    Para n+1, teremos:

 

       f(n+1) = 2f(n) + 3 = 2*6(2^(n - 1) - 0.5) + 3 = 6(2^n - 1) + 3 = 6[(2^n - 1) + 0.5] = 6[2^2 - 0.5]    c.q.d.

 

  

    Abçs!!!

   

 

    Davidson Estanislau

 

-----Mensagem Original-----
De: 
"{O-Grande-Mentecapto}" <mentus@berlin.com>
Para: <obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br>
Enviada 
em: Domingo, 25 de Novembro de 2001 16:11 Terezan
Assunto: 
Funções... 
(Iezzi)


                 
Olá..

         Estou aqui 
resolvendo um problema de funções do Iezzi, mas como
para esse 
tipo de exercício 'dissertativo' não há resposta nas 
últimas
páginas, não sei se cheguei a 
solução correta.

"Seja f uma função, 
definida no conjunto dos números naturais, tal 
que:
                         
f(n + 1) = 2f(n) + 3
para todo n natural.
a) Supondo f(0) = 0, calcule 
f(1),f(2),f(3),f(4),... e descubra a "fórmula
geral" de 
f(n).
b) Prove por indução finita a fórmula 
descoberta."
(in IEZZI, Gelson FME vol 1. pp 157)

Fazendo f(1), 
f(2), f(3) etc.. achamos:
f(1) = 3, f(2) = 9, f(3) = 21,f(4) = 45, f(5) = 93 
... f(n) = ?
"expandindo" as contas, temos:
f(1) = (0.2) + 
3
f(2) = (((0.2) + 3).2) + 3
f(3) = ((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3
f(4) = 
(((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3
f(5) = ((((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 
3).2)+3).2 + 3

Tomando n = 3 e desenvolvendo:
f(3) = 3.2.2 + 3.2 + 
3
o mesmo para n = 4:
f(4) = 3.2.2.2 + 3.2.2 + 3.2 + 3
ou 3.2³ + 
3.2² + 3.2 + 3
Isso decorre de que n+1 é dado por n.2 + 
3..
Colocando o 3 em evidência.. e notando que a maior potência 
de 2 é igual a
n-1:
f(n) = 3(2^(n-1) + 2^(n-2) + ....  + 2^1 + 
2^0)
ou ainda f(n) = 3. somatória[para k = 0 até n - 1] 
2^k
A fórmula funciona para qualquer n pertencente aos naturais e 
diferente de
zero.
Daí que vem minha dúvida... a 
fórmula que eu achei pode ser considerada
'termo' geral, se não 
é válida para 
0?
         Alguém tem alguma 
idéia de outra fórmula geral?



Grato pela 
atenção..




"Against stupidity, the Gods 
themselves contend in vain",
     Friedrich von 
Schiller's
-
[]'s
{O-Grande-Mentecapto}
mentus@berlin.com