GA / Baricentro de um Triângulo

[Fernando Henrique Ferraz <mentus@xxxxxxxxxx>]

         Olá...

         Estava quebrando a cabeça num problema do ITA 
(http://www.exatas.f2s.com/matematica/ga005.html) quando achei a solução 
usando a 'fórmula' do baricentro: G((xa + xb + xc)/ 3, (ya + yb + yc)/3) do 
triângulo.
         Depois disso ficou bem fácil o exercício. mas fiquei me 
perguntando aqui, de onde que essa fórmula vem. Procurei em vários livros 
mas ela é sempre 'empurrada' e nunca demonstrada ou provada.
         Comecei a esboçar uma demonstração mas os cálculos ficaram muito 
monstruosos. Parti dum triângulo ABC, sendo A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3). 
M sendo o ponto médio de AC, N ponto médio de AB e P o ponto médio de BC. A 
partir disso achei a equação geral de duas medianas (primeiro calculando o 
coefiente angular, a partir de /\y//\x, e dai jogando na formula da equacao 
geral da reta), ambas gigantescas... ie.:
EQG de BM: y(x1 + x3 - 2x2) - y2(x1 + x3 - 2x2) = x(y1 + y2 - 2y3) - x2(y1 
+ y3 - 2y2)
EQG de CN: y(x1 + x2 - 2x3) - y3(x1 + x2 - 2x3) = x(y1 + y2 - 2y3) - x3(y1 
+ y2 - 2y3)
         A partir disso tentei trabalhar com esses dois 'monstros' , 
isolando x numa e inserindo na outra, mas não fiz muitos progressos.. Não 
há alguma outra maneira de demonstrar que o Baricentro de um triângulo 
sempre corresponde a média simples de x e y?

grato pela atenção..





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