Re: Correcao Matrizes 3 X 3 reais

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Nov 05, 2001 at 02:33:43PM -0200, Frederico Gomes Elihimas wrote:
> 
> Corrigindo ...
>  
> 
> On Mon, 5 Nov 2001, Frederico Gomes Elihimas wrote:
> 
> > gostaria de saber qual e' a condicao dos coeficientes de uma matriz tal
> > que ela multiplicada por ela mesma --> (infinitas) <-- vezes resulta em
> outra matriz 3 X 3 real. 
> > 
> > Problema adaptado de uma das questoes da E'cole Polytechnique da Franca.
> > 
> >  Desculpe o incomodo [] 'z     
> > 
> > 

Continuei sem entender. Temos uma matriz real 3x3 A.
Talvez você queira saber quando existe o limite
da seqüência de matrizes abaixo?

I, A, A^2, A^3, ...

Se for isso é fácil, até para qualquer tamanho de matriz.
Escreva sua matriz na forma de Jordan A = X^(-1) B X.
Temos A^n = X^(-1) B^n X, donde o problema
se reduz a saber para quais matrizes B existe o limite acima.
Ou ainda, para quais blocos da forma

[ a 1 0 ... 0 ]
[ 0 a 1 ... 0 ]
[ 0 0 a 1 ... ]
[     ...     ]
[ 0 ....  a 1 ]
[ 0 ...   0 a ]

existe o limite (aqui a é um autovalor).
Autovalores de módulo menor do que 1 claramente servem
e autovalores de módulo maior de que 1 claramente não servem.
O único autovalor de módulo igual a 1 que pode servir é o próprio
1 mas neste caso não podemos ter parte nilpotente.

Moral: todos os autovalores diferentes de 1 devem ter módulo < 1
e o autovalor 1 (se existir) não deve ter parte nilpotente
(ou seja, o polinômio mínimo não pode ser múltiplo de (x-1)^2).

[]s, N.