Re: DÚVIDA DE CÁLCULO I

[bmat@xxxxxxxxxxxxxx]

Olha, eu acho que tem duas saídas, uma que eu chamaria de rápida e outra
que seria mais "normal" para atacar o problema logo de cara e com certeza
chegar à resposta. Vamos lá, primeiro pela maneira normal:

Ache os pontos de intersecção da reta com a parábola resolvendo o sistema
y=x^2 e y=5x+11. Há duas soluções(como aliás diz o problema) e chamemos-nas
de (ax;ay) e (bx;by), porque incluem radicais irracionais. Daí, vamos calcular
a área do triângulo APB pelo método do Determinante:
 1/2 *|px-ax  py-ay|
      |bx-ax  by-ay|

Quando você expandir, vai achar:
1/2[(px-ax)(by-ay) - (py-ay)(bx-ax)].
Se você derivar, lembrando de que py = px^2 e igualar a zero(para achar
o ponto de máximo) vai chegar em:
1/2[(by-ay) - 2px(bx-ax)] (pois constantes derivadas dão zero) 

Assim, você vai chegar em px = (by-ay)/(2(bx-ax)). Mas como estão numa parábola,
by = bx^2 e ay = ax^2. Daí, px = 1/2(bx + ax)
Mas bx e ax são as abscissas dos pontos de intersecção da reta com a parábola
e estão relacionados por x^2 - 5x - 11 = 0. Com isto, as raízes (ax e bx)
tem média igual a 5/2 (relações de Girard) e aí temos o ponto que maximiza
a área do triângulo: (2,5 6,25).

Mas isso dá muito trabalho e exige que você não se preocupe com os radicais
que complicam, crendo piamente que não vão ser necessários seus valores.

Para a outra solução, desenhe mais uma vez a figura do problema e aparece
outra solução: Quando você pensa no triângulo, desloque a reta 5x+11 para
a direita até o ponto de tangência com a parábola. Aí você garante que a
distância desse ponto até a reta é máxima e, como a área de um triângulo
é dada por b*h/2, temos a base fixa(o segmento AB) e a altura máxima no
ponto de tangência. Daí então você sabe que nesse ponto a tangente tem coeficiente
angular 5(igual ao da reta) e também igual a 2x (que é a derivada de x^2).
Igualando, chegamos em x=2,5. A mesma coisa. Mas você faz muito menos contas.


Até a próxima e corrijam qualquer erro, por favor.
Bernardo

-- Mensagem original --

>Ola a todos,
>
>Apareceu um problema na aula de cálculo I que eu nao conssigo   > fazer
de nenhum jeito tentei de tudo, com certeza algo de      > errado eu fiz,
por favor da uma mão.
>
>A reta y=5x+11 intercepta a parábola y=x^2 nos pontos A e B.    > Encontre
o ponto P sobre o arco OAB da parábola que maximize a > área do triangulo
PAB. (O é a origem do plano cartesiano por   > onde x^2 passa)
>
>Fernando Romagnoli




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