Re: OBM

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Oct 22, 2001 at 03:04:30PM -0200, Carlos Stein Naves de Brito wrote:
> Alguem podia so dar um empurraozinho de como fazia a 3 de geometria da obm,
> nivel 3?
> Valeu
> OBS:acho que estou ficando burro porque sempre chego a algum absurdo quando
> faco o desenho! 

A dificuldade para desenhar é que o triângulo deve ser obtusângulo, C > Pi/2,
e D cai fora do lada BC.

Antes de mais nada, o enunciado:

E e F são pontos do lado AB, do triângulo ABC, tais que AE = EF = FB.
D é ponto da reta BC tal que BC é perpendicular a ED. AD é perpendicular a CF.
Os ângulos BDF e CFA medem x e 3x, respectivamente.
Calcule a razão (DB) / (DC).



A minha solução para este problema é parcialmente por analítica.
Colocamos F na origem. Podemos supor que os pontos B, D, E e A
são respectivamente (a,-b), (-a,-b), (-a,b) e (-2a,2b).
Como o problema é invariante por semelhanças podemos supor b = 1.
Sejam (-c,-b) as coordenadas de C.
O enunciado agora nos dá uma dupla informação sobre C que mata o problema.
Por um lado sabemos que CD e CF têm o mesmo comprimento
e portanto (a-c)^2 = b^2 + c^2.
Por outro lado as retas AD e CF são perpendiculares e portanto
3b/a = c/b e c = 3b^2/a. Substituindo na equação temos
(a - (3/a))^2 = 1 + (3/a)^2 o que simplifica para a = +-sqrt(7).
Basta é claro tomar a = sqrt(7) = 7/sqrt(7) e temos c = 3/sqrt(7).
Finalmente, DB/DC = 2a/(a-c) = 14/4 = 7/2.


Acho que já posso contar um segredo: esta questão foi gerada por um erro
tipográfico da Nelly quando ela transcrevia uma questão bem mais fácil.
Ficou ótima assim. :-)

[]s, N.