Re: CONE SUL-97

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Fernanda,
para a primeira questão faça o seguinte:

1.Demonstrar que existem infinitos termos (a,b,c),com a,b,c, números
naturais , que satisfazem 2a^2 + 3b^2 - 5c^2=1997

Tentemos transformar esta equação em uma Equação de Pell da forma  x^2 -
Dy^2 = 1.
Fazendo a = 31 temos:  2(31)^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997   =>   1922 + 3b^2 -
5c^2 = 1997   =>   3b^2 - 5c^2 = 75
Fazendo  b = 5b'  e  c = 15c'  temos:   75(b'^2) - 15(75.c'^2) = 75   =>   b
'^2 - 15c'^2 = 1
Que é uma Equação de Pell, onde uma solução é  b' = 4  e  c' = 1.
Como uma Equação de Pell do tipo  x^2 - Dy^2 = 1  que possui uma solução
consequentemente possui infinitas soluções, teremos infinitos números  b' e
c' satisfazendo  b'^2 - 15c'^2 = 1.
Assim, teremos infinitos ternos (a, b, c) (com a = 31, b = 5b' e c = 15c')
satisfazendo  2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997

----- Original Message -----
From: Fernanda Medeiros <femedeiros2001@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, October 17, 2001 10:28 PM
Subject: CONE SUL-97


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> Olá: gostaria de ajuda nestas 2 questões da prova do cone sul de 97:
> 1.Demonstrar que existem infinitos termos (a,b,c),com a,b,c, números
> naturais , que satisfazem 2a^2 + 3b^2 - 5c^2=1997
> 2. Seja C uma circunferencia de centro O , AB um diametro dela e R um
ponto
> qualquer em C, distinto de A e B.Seja P a interseção da perpendicular
> traçada por O a AR.Sobre a reta OP se marca o ponto Q, de maneira que QP é
a
> metade de PO e Q não pertence ao segmento OP.Por Q traçamos a paralela a
AB
> que corta  a reta AR em T. Chamamos de H o ponto de interseção das retas
AQ
> e OT. Prove que H,R e B são colineares.
>       Obrigada!
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