Re: Desigualdades

["Marcelo Souza" <marcelo_souza7@xxxxxxxxxxx>]

coeh
Sera que o fato do grau deve alterar alguma coisa?
De acordo com o livro em que estou estudando, sempre quando acontece uma 
homogenea de grau 1, a suposicao e a+b+c=1 (ou com mais variaveis)
Quando acontece uma de grau maior, o livro sempre usa a=1, b=1+x, c=1+y.... 
Sei que pode nao ter nada a ver, mas....eu ate entendi a definicao de 
homogenea pelo livro, a minha duvida era exatamente com relacao a 
substituicao.
se alguem puder esclarecer legal,
valeu!
[]`s M


>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Desigualdades
>Date: Wed, 17 Oct 2001 00:03:10 -0300
>
>Uma desigualdade é dita simétrica se ao trocar de ordem as variáveis a 
>desigualdade não se altera.
>Ex.: a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc.
>OBS: É interessante termos uma desigualdade simétrica nas variáveis, pois 
>podemos supor sem perda de generalidade que elas estão numa certa ordem. No 
>exemplo que eu dei, vc pode supor a >=b >=c ( é claro que há 1001 maneiras 
>de provar essa desigualdade sem isso ).
>
>Agora, vamos olhar para desigualdades de outra maneira. Deixe todas as 
>variáveis de um lado da inequação. Desse lado tem-se uma função de várias 
>variáveis.
>Ex.: Em a^2 + b^2 + c^2 >= ab+ac+bc, faça F(a,b,c) = a^2 + b^2 + c^2 - 
>ab-ac-bc. Vc quer provar que F(a,b,c)>=0, para quaisquer a,b,c.
>Uma função é dita homogênea de grau n, quando f(ta,tb,tc)=t^n * f(a,b,c).
>A desigualdade acima é então homogênea  de grau 2.
>
>Eu acho que o grau não importa muito. O que interessa é se ela é homogênea 
>ou não.
>Por exemplo, na desigualdade acima, note que F(ta,tb,tc)>=0 se e somente se 
>F(a,b,c)>=0. Então podemos fazer algumas normalizações ( fizar a soma das 
>variáveis, fixar uma das variáveis, etc...).
>No exemplo dado, faça a=1, b=1+x, c=1+y. Ficamos com 
>F(1,1+x,1+y)=x^2+y^2-xy=(x-y/2)^2 + (3y^2)/4 >=0.
>
>Outro exemplo bastante significativo é o problema 2 desta última IMO. Era 
>uma desigualdade homogênea ( de grau 0, o que não importa ). Daí, era legal 
>fazer a+b+c=1, o que nos possibilitava usar a desigualdade de Jensen... e 
>assim vai. A moral da história é : fique feliz se a desigualdade for 
>simétrica ou homogênea, pois você ou pode matar o problema direto, ou pode 
>cair num problema mais fácil. :)
>
>Espero não ter errado alguma definição,
>Abraços,
>Villard
>     -----Mensagem original-----
>     De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
>     Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>     Data: Terça-feira, 16 de Outubro de 2001 19:40
>     Assunto: Desigualdades
>
>
>     ol[a pessoal,
>
>     Quando que uma desigualdade e simetrica (acho que diz simetrica em 
>relacao as variaveis)?
>
>     Quando uma desigualdade e homogenea de grau n?
>
>     abracos
>
>
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