Re: Problema sobre primos

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

    Bom, como a obm-u ja esta na internet, acredito que ja se possa comentar
sobre a prova..
    Como que o pessoal daqui da lista foi? Alguns eu ja sei porque fizeram a
prova perto de mim, mas e o resto? o pessoal de fora do Rio por exemplo :) .
Quantos pontos voces acham que fizeram?
    Acharam mais facil ou mais dificil que a do ano passado? A segunda
questao e a primeira pareciam ser um pouco mais faceis que as outras.. mas
mesmo assim nao consegui escrever muito bem na segunda.. e a primeira era
muita conta..
     Mas o que eu queria escrever mesmo era sobre a questao do somatorio (a
6a).. Na prova eu nao consegui fazer de jeito nenhum, mas depois, folheando
um livro de numeros complexos em casa, descobrir uma questao bem parecida, e
a partir dela a solucao da questao da prova era mais simples.. O mais legal
eh que usa raizes da unidades, de um modo semelhante ao que foi usado pelo
Nicolau aqui na lista pra provar um problema de geometria usando complexos..
A solucao de que falo eh mais ou menos assim (desculpem se a solucao estiver
muito chata de ser lida.. escrever no computador eh meio complicado):

    Sejam 1,e,e^2,..., e^(n-1) as raizes da n-esima da unidade.
    Entao, os polinomios Prod.{z-e^k} (k=1..n-1) e 1+z+z^2+...+z^(n-1) sao
identicos. (pq tem as mesmas raizes e o mesmo coef. lider).
    Substituindo z = 1 (ateh aqui ta igualzinho ao que foi colocado na lista
pelo Nicolau ha um tempo atras) e notando que 1 - e^ix =
2sen(x/2)*i*e^(-iPix/2), fica simples mostrar que (tem que fazer a conta num
papel.):
(I)  sen(Pi/n)sen(2Pi/n)...sen[(n-1)Pi/n] = n/[2^(n-1)]
    Mas entao, fazendo
cos(Pi/n)cos(2Pi/n)...cos[(n-1)Pi/n] = x, pode-se multiplicar as duas
equacoes para se obter
xn/[2^(n-1)] = {sen(2Pi/n)sen(4Pi/n)...sen[2(n-1)Pi/n]}*[1/2^(n-1)].
    Mas se n for impar, n = 2t+1 e esse ultimo produto eh exatamente igual a
(I), pois:
sen[(2t+2)Pi/n]  = sen[(2t-1)Pi/n],
sen[(2t+4)Pi/n]  =sen[(2t-3)Pi/n],
...  sen [(4t)Pi/n] = sen[Pi/n] (pq a soma dos argumentos ta dando sempre
congruente a Pi).

   Logo, para n impar, a gente fica com nx = n/2^(n-1) donde x = 1/2^(n-1)
    Para n par, o produtorio vale zero, e portanto a soma pedida eh a soma
de uma pg de razao -1/4 (pq ficou faltando o cosPi).

Aceito ideias sobre como fazer a 4 questao, pq ateh agora nao consegui ter
nem sequer uma ideia pra comecar a escrever nela (idem para a ultima, mas
essa eu nem tentei tanto pq o enunciado ja me assustou o suficiente).

    Abracos,
    Marcio