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Re: Questão 4 OBM-2001 Nivel 3
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Olá amigos da lista!
Realmente, a questão 4 da prova do nível 3 (que também caiu no nível 2) não
dizia que valia apenas o caso (10a+b)(10c+d) = (10b+a)(10d+c) para um
conjunto A = {a,b,c,d} ser intercambiável (para simplificar, vou assumir
como sendo esse o caso AB x CD = BA x DC). Quando escrevi a solução na hora
da prova, mostrando as 5 soluções, olhei pro papel e pensei "feito, mais
uma, beleza!". Mas aí veio aquela idéia que vocês também tiveram (diga-se de
passagem, bastante pertinente): "xiii... mas há outras hipóteses que eu não
mostrei! Vou perder muitos pontos! Ah não, vou ter que escrever cada
hipótese e verificar que são absurdas..."
Então, mostrei que, sem perda de generalidade, igualando {AB x CD} aos
produtos {BC x AD}, {BC x DA}, {BD x AC} e {BD x CA}, em todos eles há um
absurdo que inviabiliza soluções, havendo apenas soluções para o caso
apresentado no enunciado, AB x CD = BA x DC.
Demorei vários minutos provando esses casos, e creio que muita gente deve
ter desistido da questão por ter justamente imaginado que haveria outros
casos a analisar. Na hora que me dei conta das outras possibilidades, achei
que não haveria tempo pra fazê-las todas.
Não sei se seria correto anular a questão, como acha o colega Jorge Peixoto,
até porque alguns estudantes conseguiram verificar todos os casos. A minha
opinião é que, se o problema foi feito dessa forma, na solução da banca
deveria constar uma análise mais completa.
Espero eventuais críticas ou opiniões. No mais, boa sorte a todos!
Um abraço a todos os amigos,
Lucas
_______________
>A questão é ambígua sem dúvida.
>
>No dia da prova, eu tive que resolver as 11 possibilidades de equações para
>verificar se havia outras soluções além das citadas pelo gabarito oficial.
>Mas, o mais estranho, é que apenas a equação (10x + y)(10a + b) = (10y +
>x)(10b + a) tem solução. Ou seja, apenas o caso particular citado pela
>correção
>serve, mas, na prova, tive que me preocupar em justificar tudo que
escrevia,
>e, claro, porque apenas aquelas soluções ocorrem. É claro que isso me fez
>perder muito tempo de prova.
>-- Mensagem original --
>
>>Questão 4 OBM-2001 Nivel 3 está ambígua??
>>
>>Concordo plenamente... Eu e mais três alunos do meu colégio leram e
fizeram
>>a questão como se pudesse escolher , por exemplo: dentre os 4 números x,
>>y,
>>z e w uma das possibilidades da quadrúpla ser intercambiável era
>>(10x+y)(10z+w)=(10x+w)(10y+z) o que tornaria a solução do problema
original
>>apenas um caso particular... Tornando o problema bem mais difícil!! Além
>>disso ao falar com outros alunos de outros colégios vi que ocorreram casos
>>iguais a esses... E ocorreu até em outros lugares no caso do Henrique
>>Noguchi... Creio que o enunciado do problema 4 do nível 3 esteja ambíguo!!
>>E
>>além disso nenhum desses alunos que o interpretaram de maneira diferente
>>conseguiu terminar a solução desse caso "generalizado" em tempo de prova
>>(pelo menos aqui em Fortaleza)!! Acho que antes de dar algum parecer sobre
>>esse caso deve-se discutir muito para que nenhum aluno seja prejudicado!!
>>
>>Obrigado pela atenção!!
>>EINSTEIN
>>
>>-----Mensagem original-----
>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
>>nome de Nicolau C. Saldanha
>>Enviada em: quarta-feira, 5 de setembro de 2001 09:01
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Assunto: Re: Questão 5 OBM-2001 Nivel 2
>>
>>
>>On Tue, Sep 04, 2001 at 09:16:13PM -0300, Vanda Noguchi wrote:
>>> Na questão 5 da última OBM (2001), a solução do gabarito da OBM assume
>>que
>>> os números são formados pelos mesmos digitos trocando de posição, tal
>como
>>> (21 e 12) ou (36 e 63) ou seja, (10x + y)(10t + z) = (10y + x)(10z +
>t).
>>> O exemplo dado na questão está desta forma, mas nada no enunciado leva
>>a
>>> concluir isto. A equação acima não abrange os números (10x+t), (10x+z),
>>> (10z+y), etc..Portanto, a solução do gabarito é uma particularidade do
>>> enunciado. Alguém consegue explicar se minha conclusão é correta?
>>
>>Esta situação está sendo discutida pela comissão de olimpíadas
>>e teremos uma posição oficial em breve, provavelmente hoje ou amanhã. []s,
>>N.
>>>
>>> A questão é a seguinte:
>>> "Dizemos que um conjunto A formado por 4 algarismos distintos e não
nulos
>>é
>>> intercambiável se podemos formar dois pares de números, cada um com 2
>>> algarismos de A, de modo que o produto dos números de cada par seja o
>>mesmo
>>> e que, em cada par, todos os dígitos de A sejam utilizados.
>>>
>>> Por exemplo, o conjunto {1;2;3;6} é intercambiável pois 21 × 36 = 12
>×
>>63.
>>>
>>> Determine todos os conjuntos intercambiáveis."
>>>
>>>
>>> Henrique Noguchi
>>>
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