Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Ola pessoal!Eu tenho duas perguntas sobre geometria.
1. Sejam A e B dois pontos distintos do plano, qual o nome, propriedade ou
quaisquer coisa relacionada a figura formada por todos os pontos P de tal
forma que o angulo A^PB seja constante?
Ao conjunto L dos pontos do plano que têm
uma determinada propriedade P, tal que todo elemento de L possui a propriedade
P e apenas os elementos de L possuem a propriedade P dá-se o nome
de lugar geométrico ou, em inglês e latim, locus. Um
exemplo é a circunferência. Todos os pontos da circunferência
possuem a propriedade de distar R do centro O, e apenas os pontos da circunferência
possuem esta propriedade.
O lugar geométrico que vc procura chama-se Arco Capaz. Dado um ângulo XYZ e um segmento AB, constrói-se assim:
1) transporte o ângulo XYZ para o segemento AB, ou seja, AB será um dos lados do ângulo e A será o vértice. Se vc sabe como fazer isto, pule para o passo 2.
a) Com um distância qualquer no compasso, faça
um arco centrado em Y e que corte YX e YZ.
b) Com esta MESMA distância, centre em A e
faça a circunferência. (Poderia ser só um arco que
cortasse AB e fosse um "pouquinho" maior que o arco original, mas daqui
a pouco vc vai entender o porquê da circunferência completa).
c) Seja T e U as intersecções do arco
(construído no item a) com YX e YZ, respectivamente.
d) Marque a distância TU no compasso.
e) Seja C a intersecção da circunferência
(construída no item b) com o segmento AB.
f) Centrando em C, marque a distância (TU)
na circunferência (construída no item b). Surgirão
os pontos D ("acima" de AB) e E ("abaixo" de AB).
g) Agora, temos BAD = BAE = XYZ
2) Tomemos o ângulo BAD = XYZ (D "acima" de AB). Construa a perpendicular a AD que passa por A.
3) Construa a mediatriz de AB.
4) Seja O a intersecção da mediatriz de AB com a perpendicular (construída no item 2).
5) Centrando em O e com o compasso "indo" até A, faça o arco "até" B. Note que vc pode tanto fazer um arco grande como um arco pequeno. Faça o arco "para baixo". (Se o seu ângulo for agudo, será o arco maior. Se for obtuso, será o arco menor.)
6) Repita os passos 2 a 5, sendo que no passo 2 você deverá
pegar o ângulo BAE ao invés de BAD (E "abaixo" de AB) e no
passo 5, você deverá construir o arco "para cima".
A junção destes dois arcos dá
o Arco Capaz que enxerga AB sob um ângulo XYZ. A figura no
final parece um oito deformado se XYZ for agudo, uma quase-elipse achatada
se o ângulo for obtuso e é exatamente uma circunferência
se o ângulo for reto.
Prova:
Observe que o ângulo OAB é comlementar de BAD = XYZ por construção. Seja M o ponto médio de AB. O ângulo AMO é reto pois MO é mediatriz de AB, por construção. Assim, como num triângulo a soma dos ângulos internos é 180º, no triângulo AMO, o ângulo AOM deverá ser igual a BAD = XYZ.
Como AM=MB, MO=MO e os ângulos AMO=BMO, temos, por lado-ângulo-lado, que os triângulos AMO e BMO são congruentes e, em particular, os ângulos BOM=AOM=XYZ. Ou seja, o ângulo AOB é 2*XYZ.
Mas AOB é o ângulo central do arco (construído em 5). Logo, qualquer ponto neste arco enxergará AB sob um angulo de AOB/2 = (2*XYZ)/2 = XYZ.
Repete-se a prova para o "outro" arco (construído em 6) e está provado, CQD.
Quaisquer dúvidas ou comentários,
estamos aí.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: No passo 5, na hora de construir o arco "para cima" ou "para baixo", basta lembrar que o arco tem de estar no lado "oposto" ao lado em que o ângulo foi construído, com relação à AB. Ou seja, se você construir BAD "acima" de AB, o arco deverá ser "abaixo", e vice-versa.
2. Temos um triangulo equilatero ABC, dentro do triangulo se tracam tres
segmentos, cada um partindo de um lado, que nao se cruzam mas estao um
apoiados nos outros. Mostrar que se os tres segmentos tem o mesmo
comprimento, o triangulo do meio e' tambem equilatero.
Eu ia anexar uma figurinha pro 2, mas tem gente que nao consegue abrir.A
Hum, talvez mais atrapalhe do que ajude, mas vamos ver se eu entendi: Sejam X, Y e Z as intersecções de AP e BQ, BQ e CR, CR e AP, respectivamente. Então, se ABC é equilátero e AX=BY=CZ, então o triângulo XYZ também é equilátero.
Bem, se for isto, acho que até já vi essa questão antes. Só que não sei se vi a solução e, se vi, não lembro. Vou pensar um pouco mais... :-)
Eduardo Casagrande Stabel.
Mais uma vez,
[]'s
Alexandre Tessarollo