Re: Construção axiomática dos números

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, Aug 12, 2001 at 05:09:56PM -0300, David Daniel Turchick wrote:
> Será que alguém da lista poderia me sugerir um livro em que eu encontre uma
> construção axiomática dos números (em especial, dos conjuntos IN e IR)?

A frase 'construção axiomática' é um pouco estranha, se você constrói
o conjunto dos números naturais dentro da teoria dos conjuntos então
você não precisa de axiomas novos, um número natural passa a ser um tipo
especial de conjunto e os 'axiomas' de Peano passam a ser teoremas.

A construção dos números naturais dentro da teoria dos conjuntos está
em explicada em 'Naïve Set Theory', de Paul Halmos, UTM
(sei que existe tradução mas o que eu tenho é o original em inglês).
O 'handbook of mathematical logic' discute (entre várias outras coisas)
os axiomas de Peano em lógica de primeira ordem. Aqui estamos indo para
o lado dos teoremas de incompletude de Gödel, por exemplo, acho que não
era esta a intenção da sua pergunta.

Se por outro lado você está procurando uma descrição das propriedades
fundamentais (axiomas?) dos números naturais e reais voltada para estudantes
de graduação e mestrado ou para matemáticos de outras áreas que não lógica ou
teoria dos conjuntos então você talvez os primeiros capítulos do livro
de análise do Elon (curso de análise, vol 1, projeto Euclides)
estejam mais próximos do que você procura.

Finalmente, se você quer ver alguma matemática com menos de 50 anos 
o livro 'On Numbers and Games' de John Conway começa com a construção
de uma classe de números muito ampla, os números surreais,
que inclui como subclasses não apenas os naturais e reais mas também
os ordinais e cardinais infinitos.

[]s, N.