Re: Potencias de 2 e 3 consecutivas

["josimat" <josimat@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Desculpem-me pelo meu descuido. Aliás, inicialmente, eu escrevera:
Prove que o único inteiro que está "imprensado" entre um quadrado e um cubo
perfeito é o 26. Pois 25<26<27.
Mas apaguei e escrevi  como o Casagrande (a^2 + 2 = b^3) e, em seguida,
resolvi colocar aquela besteira. Apesar disso, parece-me que vocês
entenderam.
[]s, Josimar
-----Mensagem original-----
De: Eduardo Casagrande Stabel <dudasta@terra.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sábado, 11 de Agosto de 2001 17:13
Assunto: Re: Potencias de 2 e 3 consecutivas


>Escrevendo de outro jeito, o josimat quer que demonstremos que X^2 + 2 =
>Y^3, so tem o par inteiro (X,Y)=(5,3) como soluccao. A outra pergunta e':
>quantas soluccoes inteiras tem X^3 + 2 = Y^2?
>
>> Acho que ele quis dizer: sendo a^3, b e c^2 inteiros consecutivos.
>>
>> From: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>>
>> > Tem certeza que é isso ? 25^2 < 26 < 27^3 ??
>> >  Villard
>> > -----Mensagem original-----
>> > De: josimat <josimat@openlink.com.br>
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > Data: Sexta-feira, 10 de Agosto de 2001 15:16
>> > Assunto: Re: Potencias de 2 e 3 consecutivas
>> >
>> >
>> > >Sendo "a", "b" e "c" inteiros consecutivos, como provar que  a^2<b<c^3
>> > >implica  b=26?
>> > >Existe um b tal que a^3<b<c^2?
>> > >[]s, Josimar
>> > >
>> > >-----Mensagem original-----
>> > >De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
>> > >Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >Data: Sexta-feira, 10 de Agosto de 2001 13:44
>> > >Assunto: Re: Potencias de 2 e 3 consecutivas
>> > >
>> > >
>> > >>...3^b-2^a=1 implica 2^a=3^b-1. Como a>1, o lado esquerdo é múltiplo
>de
>> 4,
>> > >>logo, como 3=-1(mod4), (-1)^b-1=0, logo, b é par, ou seja, existe k
>> > >natural,
>> > >>tal que b=2k. Logo, 2^a=(3^k-1)(3^k+1) e assim, os dois fatores da
>> direita
>> > >>são potências de 2. Como a diferença desses 2 fatores é 2, só podemos
>> ter
>> > >>k=1, ou seja, b=2 e assim, a=3.
>> > >>...2^a-3^b=1 implica 3^b=2^a-1. Como 2=-1(mod3), temos (-1)^a = 1,
>logo
>> a
>> > é
>> > >>par e existe j natural, tal que a=2j. Então, 3^b=(2^j-1)(2^j+1) e os
>> dois
>> > >>fatores da direita devem ser potências de 3. Como a diferença desses
>> > >fatores
>> > >>é 2, só podemos ter j=1, ou seja, a=2 e assim b=3.
>> > >>Abraços,
>> > >>  ¡Villard!
>> > >>-----Mensagem original-----
>> > >>De: Salvador Addas Zanata <sazanata@ime.usp.br>
>> > >>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> > >>Data: Sexta-feira, 10 de Agosto de 2001 13:13
>> > >>Assunto: Potencias de 2 e 3 consecutivas
>> > >>
>> > >>
>> > >>>
>> > >>>Como provar que as unicas potencias de 2 e 3 consecutivas sao 8 e 9
?
>> > >>>
>> > >>>
>> > >>>3^b-2^a=+-1, com a>1 e b>1 implicam b=2 e a=3
>> > >>>
>> > >>>Abraco,
>> > >>>
>> > >>>Salvador
>> > >>>
>> > >>
>> > >
>> >
>> >
>>
>