Re: SELEÇÃO IMO(me ajudem)

[pichurin pichurin <pichurinbr@xxxxxxxxxxxx>]

desculpem, mas sou meio leigo nesses problemas
alguem poderia me explicar pq o produto das raízes é
igual a 11? 



--- Bruno Leite <bruleite@uol.com.br> escreveu: >
Linda solução! Nunca tinha conseguido fazer essa
> questão...
> 
> Bruno
> 
> -----Mensagem original-----
> De: Marcelo Rufino de Oliveira
> <marcelo_rufino@hotmail.com>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quarta-feira, 1 de Agosto de 2001 03:25
> Assunto: Re: SELEÇÃO IMO
> 
> 
> >Na segunda questão faça o seguinte:
> >
> >2) se a = sqrt(4-sqrt5-a), b = sqrt(4+sqrt5-b), c =
> sqrt(4-sqrt5+c) e
> >d = sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d.
> >
> >Solução:
> >
> >Inicialmente note que, devido as equações que
> definem a, b, c e d, então
> >estes valores são todos distintos.
> >
> >Elevando ao quadrado duas vezes as equações
> obtemos:
> >
> >(1) (a^2 - 4)^2 = 5 - a   =>   a^4 - 8a^2 + 16 = 5
> - a   =>
> >a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0
> >
> >(2) (b^2 - 4)^2 = 5 - b   =>   b^4 - 8b^2 + 16 = 5
> - b   =>
> >b^4 - 8b^2 + b + 11 = 0
> >
> >(3) (c^2 - 4)^2 = 5 + c   =>   c^4 - 8c^2 + 16 = 5
> + c   =>
> >c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0
> >
> >(4) (d^2 - 4)^2 = 5 + d   =>   d^4 - 8d^2 + 16 = 5
> + d   =>
> >d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0
> >
> >Assim, a e b são 2 das 4 raízes do polinômio  P(x)
> = x^4 - 8x^2 + x + 11 e
> >c e d são 2 das 4 raízes do polinômio Q(x) = x^4 -
> 8x^2 - x + 11.
> >
> >Aplicando x = - c em P(x) temos:
> >P(- c) = c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0   =>   - c é raiz
> de P(x).
> >
> >Aplicando x = - d em P(x) temos:
> >P(- d) = d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0   =>   - d é raiz
> de P(x).
> >
> >Deste modo, as raízes de P(x) são  a, b, - c e - d.
> >
> >Como a multiplicação das raízes P(x) é igual a  11,
> >temos que  a.b.(- c)(- d) = 11   =>   abcd = 11.
> >
> >
> >Falou,
> >Marcelo Rufino de Oliveira
> >
> >
> >----- Original Message -----
> >From: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Tuesday, July 31, 2001 11:16 PM
> >Subject: SELEÇÃO IMO
> >
> >
> >>
> >>   alguém pode ajudar nesses problemas?
> >> 1)se m e n são inteiros positivos tais q 2^n  - 1
> divide m^2 +9, prove q
> n
> >> eh uma potencia de 2
> >> se n eh uma potencia de 2 prove q existe um
> inteiro m (positivo) tal q
> 2^n
> >> -1 divide m^2 + 9
> >> 2)se a=sqrt(4-sqrt5-a), b=sqrt(4+sqrt5-b),
> c=sqrt(4-sqrt5+c) e
> >> d=sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d
> >> 3)sejam Q+ e Z os conjuntos dos racionais
> estritamente positivos e o
> >> conjunto dos inteiros. determine todas as funções
> f:Q+ ->Z satisfazendo
> as
> >> seguintes condições:
> >> (i)f(1999)=1
> >> (ii)f(ab)=f(a)+f(b) ,pra qq a,b racionais
> estritamente positivos
> >> (iii)f(a+b)>=min{f(a),f(b)}, pra qq a,b racionais
> estritamente positivos
> >>
> >>     valeu!
> >>
> >>
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