Re:

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Eder,

Voce nao precisa fazer restricao alguma ao triangulo ... O que temos abaixo 
e uma "identidade",isto e, uma relacao que e valida em qualquer triangulo, 
independente de qualquer particularidade que porventura  ele possa ter. Para 
ver isso, note que provar que :

sen(A) + sen(B) + sen(C)=4*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)

e o mesmo que provar que :

sen(A) + sen(B) = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2) - sen(C).

A expressao da direita pode ser conduzida a da esquerda como segue :

A + B + C = 180 => C=180 - (A+B)
sen(C) = sen[180 - (A+B)] = sen(A+B) e

cos(C/2)=cos[(180 - (A+B))/2]=cos[90 -((A+B)/2)]=sen((A+B)/2)

portanto, substituindo na expressao da esquerda os valores de sen(C) e 
cos(C/2) por suas expressoes em funcao de (A+B), ficara :

E = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*sen((A+B)/2)- sen(A+B)
E = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*sen((A+B)/2)- sen(2*((A+B)/2))
E = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*sen((A+B)/2)- 2*sen((A+B)/2)*cos((A+B)/2)
E = sen((A+B)/2)*[4*cos(A/2)*cos(B/2)- 2*cos((A+B)/2)]
E = sen((A+B)/2)*[4*cos(A/2)*cos(B/2)- 2*cos(A/2)*cos(B/2) + 
2*sen(A/2)*sen(B/2)
E = sen((A+B)/2)*[2*cos(A/2)*cos(B/2) + 2*sen(A/2)*sen(B/2)]
E = 2*sen((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

pelas formulas de transformacao em produto :

E = sen(A) + sen(B)

Portanto, a espressao da esquerda (E) e absolutamente igual a da direita. 
Segue que trata-se de uma "identidade" e nao de uma relacao que so ocorre se 
o triangulo sofre alguma restricao.

Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1239,25072001

PS: Prove que em qualquer triangulo de lados "a", "b" e "c" vale :
3/2  =<  a/(b+c)  +  b/(a+c)  +  c/(a+b)  < 2




>From: "Eder" <edalbuquerque@uol.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Date: Mon, 23 Jul 2001 17:55:50 -0300
>
>Olá a todos,
>
>Eu agradeceria se alguém pudesse me ajudar com o seguinte problema:
>
>Sabendo que A,B e C são ângulos internos de um triângulo,escreva as 
>restrições que devem ser satisfeitas por esse triângulo para que se 
>verifique a igualdade:
>
>senA+senB+senC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(c/2)
>
>Há muito estou tentando aqui e ainda não matei essa.


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