RES: bonita

["M. A. A. Cohen" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Usando coordenadas, pode-se fazer:
Circuncentro = O = (0,0)
Vertices = a, b, c
Ortocentro h = a + b + c
d = Distancia de O ao lado bc: 0.5|b+c|
d'= Distancia de h ao vertice oposto: |h-a| = |b+c|
Logo, d' = 2*d.

	Na verdade, o que voce pede aparece na demonstracao de que a 'reta' de
Euler eh uma reta. O que eu fiz la em cima eh a demonstracao mais bonita
(pra mim) disso. (como o baricentro eh o ponto G = (a+b+c)/3, fica claro que
os pontos O, G, H sao colineares.)

	O argumento principal usado la em cima é que o ortocentro eh dado por a+b+c
(sempre que o circumcentro esta na origem). Isso segue de o vetor AH = h-a =
b+c ser paralelo ao segmento que da a distancia do circuncentro ao lado bc
(pois esse vale 0.5*(b+c) ) e portanto AH tmb eh perpendicular a BC.
	Logo, o ponto h = a + (h-a) esta na altura que sai de a. Analogamente, ele
tmb esta nas alturas que saem de b e de c, e portanto h eh o ortocentro do
triangulo.

	Um exemplo interessante de aplicacao desse resultado eh o seguinte
problema:

"Dados 6 pontos numa circunferencia, escolhe-se 3 deles e forma-se um
triangulo. Liga-se o baricentro desse triangulo ao ortocentro do triangulo
formado pelos tres pontos que restaram.
Repete-se esse procedimento para todos os triangulos possiveis, formando-se
entao 20 segmentos.
Mostre que todos esses 20 segmentos concorrem num ponto."

	Abracos,
	Marcio




-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Lltmdrtm@aol.com
Enviada em: sábado, 21 de julho de 2001 09:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: bonita


Demonstre que a distância do circuncentro de um triângulo a qualquer um dos
lados é igual à metade da distância do ortocentro ao vértice oposto.