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Re: olá e problemas :)
Oi, Fernanda.
-----Original Message-----
From: Fernanda Medeiros <femedeiros2001@hotmail.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Date: Wednesday, July 18, 2001 11:50 PM
Subject: olá e problemas :)
> Olá pessoal,
>Tudo bem? Bem, essa é a primeira mensagem que envio e peço já
>antecipadamente desculpas pelas dúvidas triviais que apresentarei agora,
>tenho dúvida em algumas dessas questões, caso alguém possa ajudar, ficarei
>imensamente grata!
> 1.Seja f(x)=x^3 -3x +1 .Determine o n° de soluções reais distintas da
>equação f(f(x))=0
Hmmm... Com cálculo é mais fácil.... Sem cálculo... Vejamos....
Primeiro, escreva f(x) assim:
f(x)=x^3-3x+1 = (x^2-2x+1)(x+2)-1 = (x-1)^2.(x+2)-1
Note que tanto (x-1)^2 quanto (x+2) crescem em módulo à medida que x vai
de -2 a -INFINITO (nesta direção). Assim, f(x) é CRESCENTE para x indo de
-INFINITO a -2 (e f(x) vai de -INFINITO a -1).
Agora, note que f(-2)=-1; f(-1)=3; f(0)=1; f(1)=-1 e f(2)=3.
Para entender o que vem a seguir faça um gráfico; enquanto x
percorre -INF, -2, -1, 0, 1, 2, +INF temos que f percorre -INF,
(estritamente crescente até) -1, 3, 1, -1, 3, +INF. Não sabemos *a priori*
se f é decrescente em
(-1,1) ou se é crescente depois disso.
Mas de qualquer forma, f(x) tem 3 raízes (a, b e c), a em (-2,-1), b em
(0,1) e c em (1,2). Como f(x) é de 3o grau, estas são as únicas raizes.
i) f(x)=a
No seu gráfico, é difícil decidir de f(x)=a tem 1 ou 3 raízes, pois a
gente não sabe a princípio se f "vai mais para baixo em volta de
(1,f(-1)=1)" ou não. Sem cálculo, eu faria assim:
Se f(x)=a, então (x-1)^2(x+2)=1+a<0 (pois a<-1). Como (x-1)^2>=0,
devemos ter x+2<0, isto é, x<-2. No gráfico você vê que o problema morreu --
como f é estritamente crescente para x em (-INF,-2), e f percorre (-INF,-1)
enquanto isso (intervalo este que contém a!) f(x)=a tem exatamente uma raiz
real (que é menor que -2).
ii) f(x)=b
b está em (0,1), certo? Seu gráfico diz tudo: f cobrirá este intervalo
três vezes, entre x=-2 e x=-1 (f vai de -1 a 3), entre x=0 e x=1 (f vai de 1
a -1) e de novo entre x=1 e x=2 (f vai de -1 a 3 de novo). Cada intervalo
destes terá uma raiz de f(x)=b. Como f(x)=b é uma equação de 3o grau, estas
são todas as soluções saem daqui.
iii) f(x)=c
c está em (1,2), né? Seu gráfico resolve de novo:
x=-2 a x=-1 (f=-1 a f=3) tem uma solução;
x=-1 a x=0 (f=3 a f=1) tem uma solução;
x=1 a x=2 (f=-1 a f=3 de novo) tem outra solução.
É claro que as soluções de f(x)=b e f(x)=c são distintas. Assim,
contamos 1+3+3=soluções de f(f(x))=0.
> 2.Determine todos os nºs reais x tais que
> x[x[x[x]]]=88 onde [x] é o maior inteiro que não supera x
Eu já vi isso em algum lugar.... Note que f(x)=x[x[x[x]]] é crescente,
assim a resposta será um número só (ou talvez um intervalo).
x=3 dá 3.3.3.3=81. Perto, mas não chegou lá.
x=4 dá 4.4.4.4=256. Longe demais.
Assim, conclui-se que x está em (3,4). Assim, [x]=3 e portanto podemos
escrever:
f(x)=x[x[3x]] (só em (3,4))
Agora, tente x=3+1/3 (que é quando a função de dentro muda!). Tem-se:
x=10/3: f(x)=x[x[10]]=x[10x]=x[100/3]=33x=110 (longe demais!)
Assim, x está em (3,10/3) e portanto devemos ter [3x]=9.
Ali, f(x)=x[9x] (isto só em (3,3+1/3)). A função de dentro só muda a
cada nono... Tente x=3+1/9 e x=3+2/9:
x=28/9: f(x)=x.28=28.28/9 =87,1...< 88
x=29/9: f(x)=x.29=29.29/9 =93,4...> 88
Então nossa solução está entre estes dois números, onde f(x)=x[9x]=28x
com certeza. Enfim, tem-se 28x=88, isto é, x=22/7, como a única solução
(note que ela está de fato entre 28/9 e 29/9).
> 3.As bissetrizes dos angulos A e B do triangulo ABC intersectam os lados
>BC e AC nos pontos D e E respectivamente. Supondo que AE+BD=AB,determine a
>medida do angulo C.
Esta eu fiz usando que BD=ac/(b+c) e AE=bc/(a+c) (a primeira vem de
BD/AB=CD/AC, a segunda é análoga). Fazendo uma álgebra não muito feia, chego
a a^2+b^2-ab=c^2; a lei dos cossenos acha o ângulo C.
> 4.Determine todas as funções estritamente crescentes f:N*->N* tais que
>f(n+f(n))=2f(n)
Seja f(1)=a; note que f(1+f(1))=f(a+1)=2a.
Quem serão os (a-1) números f(2), f(3), ..., f(a)? Bom, temos de
escolher entre f(1)=a e f(a+1)=2a, e há exatamente (a-1) números ali! Assim,
temos de fazer f(2)=a+1; f(3)=a+2;...f(k)=a+k-1;... f(a)=2a-1.
(Nota: se a=1, o parágrafo anterior é esquisito, mas válido apesar de
não existir nada entre 2 e a)
Agora, tome n=a+1. Emtão f(n+f(n))=f(a+1+f(a+1))=f(a+1+2a)=f(3a+1); por
outro lado 2f(n)=2f(a+1)=4a. Pela propriedade, f(3a+1)=4a. De novo, note que
estamos "apertados" para escolher os caras entre f(a+1) e f(3a+1)...
Continue esse processo por indução; se f((2^k-1)a+1)=2^k.a,
faça n=(2^k-1)a+1 e chegue a f((2^(k+1)-1)a+1)=2^(k+1).a e "esprema" os
outros números entre estes. Você acaba de mostrar que f(n)=n+a-1.
Enfim, note que f(n)=n+K-1 satisfaz a condição para qualquer K>=1, já
que:
f(n+f(n))=f(n+n+K-1)=f(2n+K-1)=2n+K-1+k-1=2(n+k-1)=2f(n).
> 5.Mostre que todo nº racional positivo pode ser representado sob a forma
> r=a^3 + b^3/c^3 + d^3 a,b,c,d inteiros positivos
> 6.Determine todas as funções f:R->R que possuem a propriedade:
> f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2 +y
> pra todos os reais x e y.
>
>7. O que diz o teorema das bissetrizes?
>
> Espero que vocês me ajudem pois realmente preciso! Obrigada
> B-jinhos
> Fê
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