Re: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day

["Bruno Leite" <bruleite@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 9 de Julho de 2001 17:08
Assunto: Re: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day


>Ola Marcio,
>Ola Pessoal,
>
>SALVO MELHOR JUIZO, nao acho que o caminho que voce delineou abaixo seja
bom
>... Eu agora estou sem tempo para pensar com mais acuidade, mas, em minha
>opiniao, voce deve partir da conhecida desigualdade entre as medias
>aritmetica e geometrica :
>
>(a + b)/2 >= raiz_2(a*b)
>
>Daqui : a + b >= 2*raiz_2(a*b) => a + b + c >= c + 2*raiz_2(a*b)
>a + b + c >= c + raiz_2(2)*raiz_2(a*b).
>a + b + c >= raiz_2(c^2 + 2*a*b)
>1/(a + b + c) <= 1/raiz_2(c^2 + 2*a*b)
>
>c/(a + b + c) <= c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)... Desigualdade (1)
>
>Agora, partindo de :
>(b + c)/2 >= raiz_2(b*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a
>a/(a + b + c) <= a/raiz_2(a^2 + 2*b*c) ... Desigualdade (2)
>
>E, finalmente, partindo de :
>(a + c)/2 >= raiz_2(a*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a
>b/(a + b + c) <= b/raiz_2(b^2 + 2*a*c) ... Desigualdade (3)
>
>Somando, membro a membro, as tres desigualdades :
>
>1<=c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)+ a/raiz_2(a^2 + 2*b*c)+ b/raiz_2(b^2 + 2*a*c)
>Que e o que voce deseja demonstrar.


Ué, mas a desigualdade a ser mostrada é
1<=c/raiz(c^2 + 8*a*b)+ a/raiz(a^2 + 8*b*c)+ b/raiz(b^2 + 8*a*c)
e não
1<=c/raiz(c^2 + 2*a*b)+ a/raiz(a^2 + 2*b*c)+ b/raiz(b^2 + 2*a*c)...

(mas a demonstração para esta última foi bonita..)

Bruno

>Eu estou com pouco tempo, mas, atendendo o apelo do Prof Nicolau e do
Colega
>Marcelo Rufino, que gostariam de ver solucoes diferentes das que sao
>apresentadas no Site onde publicam as solucoes das questoes IMO, bolei,
>neste ultimo domingo (ontem) duas outras maneiras diferentes de fazer
aquela
>questao que a lenda diz ser a mais dificil de todas as IMOS :
>
>Se (a^2 + b^2)/(a*b + 1) e um inteiro, entao este inteiro e um quadrado
>perfeito.
>
>1) A primeira e geometrica, interpretando "a" e "b" como catetos de um
>triangulo retangulo
>2) A segunda e por progressoes geometricas, interpretando (a^2 + b^2)/(a*b
+
>1) como
>
>(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= a^2/(ab+1)  +  b^2/(ab + 1)
>(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= 1/(b/a + 1/a^2) +  1/(a/b + 1/b^2)
>
>Em verdade, ha muito tempo atras, eu e o nosso muito estimado colega Bruno
>Leite, membro desta lista, ( que ha muito nao escreve para a lista e anda
>desaparecido) encontramo-nos num Chat e passamos a discutir sobre esta
>questao, quando entao o Bruno me apresentou uma  solucao "tipo resolucao de
>equacao do 2 grau" e eu apresentei as duas solucoes a que me referi acima.
>
>Eu nao guardo as solucoes que faco, de forma que tive que redescobrir meu
>raciocinio para dar este presente a voces. Logo, logo, quando  nos proximos
>dias eu tiver um tempo livre, vou publicar aqui estas solucoes.
>
>De coracao,
>
>Um abraco a todos
>Paulo Santa Rita
>2,1657,09072001