RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Bom, a ideia que eu tive foi bem parecida com a sua..
eu fiz x=bc/a^2, y=ac/b^2 e z=ab/c^2 pra tentar provar que
1/sqrt(1+8x) + 1/sqrt(1+8y) + 1/sqrt(1+8z) >=1 se xyz=1.
fazendo u=sqrtz(1+8x), v=sqrt(1+8y) e w=sqrt(1+8z), fico tendo que provar
que:
S2 >= S3, onde S1, S2, S3 sao as somas simetricas 1a1, 2a2, 3a3.
o que eu posso usar eh que (u^2-1)(v^2-1)(w^2-1)=8^3, ou o que eh
equivalente,
(S1+S3)^2 - (S2+1)^2 = 256.
alem disso, posso usar alguma coisa que use o fato de u,v,w serem
positivos.. algo como:
S1,S2 >=5;  S3>=3 ou, a que eu tentei por ultimo, (S1)/3 >= (S3)^(1/3)
aceito ajudas para juntar tudo isso..
Abracos,
Marcio

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
Bruno Leite
Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 23:53
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day


Sobre o segundo problema:

Se (a,b,c) satisfaz a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab) >= 1
ent?o (ka,kb,kc) (k>0) também satisfaz. Ent?o podemos supor que abc=1/8.

Ent?o ficamos com 1/sqrt(1+8bc/a^2)+1/sqrt(1+8ac/b^2)+1/sqrt(1+8ab/c^2)>=1
ou 1/sqrt(1+8abc/a^3)+1/sqrt(1+8abc/b^3)+1/sqrt(1+8abc/c^3)>=1 ou
1/sqrt(1+8/a^3)+1/sqrt(1+8/b^3)+1/sqrt(1+8/c^3)>=1 com abc=1/8.

Veja que se 1/a^3=A, 1/b^3=B e 1/c^3=C temos ABC=512 e temos que provar que

1/sqrt(1+A)+1/sqrt(1+B)+1/sqrt(1+C)>=1 se ABC=512 (**)

Eu consegui provar um resultado parecido só que mais fraco:

1/(1+A)+1/(1+B)+1/(1+C)>=1/3 se ABC=512

Isso n?o implica (**) pois ( sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z) )^2 =< 3*(x+y+z), para
quaisquer x, y, z >0.

Bom, eu nem sei se estou no caminho certo, mas, mesmo assim, alguém tem
alguma idéia para provar (**)?

Bruno Leite

-----Mensagem original-----
De: Marcio <mcohen@iis.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 8 de Julho de 2001 18:28
Assunto: ENC: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day


>Acabei de receber isso em outra lista.. Agora vou tentar fazer
>(provavelmente sem sucesso :) e depois mandar meus comentarios pra gente
>debater na lista!
>Abracos,
>Marcio
>
>-----Mensagem original-----
>De: Mojca Miklavec [mailto:mojca.miklavec@guest.arnes.si]
>Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 15:41
>Para: imo-problems@egroups.fr
>Assunto: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>
>
>
>1. Let ABC be an acute-angled triangle with circumcentre O. Let P on BC be
>the foot of the altitude from A.
>
>Suppose that <)BCA >= <)ABC + 30°.
>
>Prove that <)CAB + <)COP < 90°.
>
>
>2. Prove that
>
>a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab) >= 1
>
>for all positive real numbers a, b and c.
>
>
>3. Twenty-one girls and twenty-one boys took part in a mathematical
>contest.
>
>- Each contestant solved at most six problems.
>- For each girl and each boy, at leat one problem was solved by both of
>them.
>
>Prove that there was a problem that was solved by at least three girls and
>at leat three boys.
>
>
>imo-problems is part of the IMO network, http://imonet.online.fr/
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