Re:Resultado da Cone Sul

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Bom, no e-mail anterior não mandei as questões da
prova pois eu não tinha os enunciados na íntegra. Eu
lembro dos problemas e, atendendo a pedidos, aí vão
eles. Mas assim que tiver os enunciados de verdade eu
os mando para que sejam publicados no site da OBM.

Novamente: os enunciados vêm da minha memória e não
posso dizer com 100% de certeza que estão corretos!

Primeiro dia

1) Considere um tabuleiro 2000x2000. Em cada casinha
do tabuleiro colocamos 1, 0 ou -1. Em seguida,
calculamos a soma dos números de todas as casinhas de
cada linha e coluna. Prove que é possível preencher o
tabuleiro de modo que todas as 4000 somas sejam
distintas.

2) Considere uma seqüência de inteiros (a1, a2, ...)
de modo que

i) todos os números inteiros positivos aparecem pelo
menos uma vez na seqüência.

ii) a1 = 1

iii) a(3n+1) = 2a(n) + 1 para todo n inteiro positivo

iv) a(n+1) >= a(n) para todo n inteiro positivo

v) a(2001) = 200

Determine a(1000).

3) Três triângulos acutângulos estão inscritos em uma
circunferência de modo que não haja dois ou mais
vértices coincidentes. Prove que é possível escolher
um ponto de cada triângulo de modo que todos os
ângulos do triângulo formado por estes três pontos
sejam menores ou iguais a 90 graus.

Segundo dia

4) Considere um quadrado de lado a. Em seu interior
está um polígono de área S. Prove que existem dois
vértices do polígono cuja distância é maior ou igual a
S/a.

5) Sendo n um inteiro positivo, S(n) é a soma dos
dígitos de n em sua representação decimal. Encontre
todos os valores de m tais que

       m + 2001*S(m) = 2m

6) Uma função g definida nos inteiros é tal que

i) g(1) = 1

ii) g(n+1) = g(n) + 1 ou g(n+1) = g(n) - 1

iii) g(3n) = g(n)

iv) Existe um inteiro k tal que g(k) = 2001.

Encontre o menor valor possível para k.

Já adianto que o problema 2 apareceu na prova com o
enunciado incorreto. Quando pensarem no problema vcs
perceberão isso.

Ambas as provas tiveram duração de 3h30min.

[]'s
Shine

--- thiago-sobral <thiago-sobral@bol.com.br> wrote:
>   Olá prof Shine,
> 
>   Gostaria de ver as questoes da prova, será 
> que vc poderia mandar pra lista?
> 
> []s,
> 
> Thiago Sobral 
> 
> > Olá a todos!!
> > 
> > É com muita felicidade que divulgo o 
> resultado final
> > da XII Olimpíada do Cone Sul:
> > 
> > BRA2: Guilherme Fujiwara: Prata
> > BRA3: Larissa Lima: Prata
> > BRA4: Rafael Hirama: Ouro
> > 
> > Depois eu envio mais detalhes sobre a 
> competição e
> > trabalharemos para que brevemente a prova 
> desta
> > competição esteja disponível.
> > 
> > []'s
> > Carlos Shine
> > 
> > 
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